一    
    
    
    
、概述

二次规划是指约束为线性的二次优化问题  
    
    
    
  。在Matlab中  
    
    
    
  ，quadprog是具有线性约束的二次目标函数求解器

     


     


     


     
。

（一）二次规划标准形式

min

⁡

x

1

2

x

T

H

x

+

f

T

x

\mathop {\min }\limits_x \frac{1}{2}{{\bf{x}}^{\bf{T}}}{\bf{Hx}} + {{\bf{f}}^{\bf{T}}}{\bf{x}}

xmin​21​xTHx+fTx 其实H是Hessian 阵

     


     


     


     
，是n乘n的对称阵 




 




 




 




。

1   


     


     


     


  、海森矩阵的正定性与函数最优性

如果 Hessian 矩阵是半正定的 




 




 




 




，则我们说该式是一个凸二次规划  

   

   

   

 ，在这种情况下该问题的困难程度类似于线性规划  

   

   

   

 。如果有至少一个向量满足约束并且在 可行域 有下界

     

     

     

     ，则凸二次规划问题就有一个全局最小值

     

     

     

     。 如果是正定的  




  




  




  




，则这类二次规划为严格的凸二次规划  


  


  


  


，那么全局最小值就是唯一的  




  




  




  




。 如果是一个 不定矩阵 
     
     
     
     ，则为非凸二次规划
   




   




   




   



，这类二次规划更有挑战性 



 



 



 



，因为它们有多个平稳点和局部极小值点  


  


  


  


。

2



 




 




 




 
、基本数学概念

基础概念：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50598523 凸 严格凸                    ，举例：https://zhuanlan.zhihu.com/p/399549564

3   

   

   

   

、对称阵的正定性判断

正定矩阵：矩阵的所有特征值均大于0 半正定矩阵：矩阵的所有特征值均非负 负定矩阵：矩阵所有特征值均小于0

https://blog.csdn.net/Infinity_07/article/details/109569450

4    

     

     

     

 、matlab正




  




  




  




  、半正  


  


  


  


、负定阵生成

    




    




    




    


，与quadprog验证

（1）matlab判断正定性： % 判断矩阵m是正定     
     
     
     
、半正定还是负定 m = [2 -1; -1 2]; if issymmetric(m) % 检查矩阵是否对称 % disp(矩阵对称); d = eig(m); % 计算矩阵特征值 if all(d > 0) disp(矩阵正定); elseif all(d >= 0) disp(矩阵半正定); else disp(矩阵负定); end else disp(矩阵不对称); end

（2）matlab产生正定阵的操作

https://blog.csdn.net/zhao523520704/article/details/52918376/

H_posi=diag([1,2,3]); H_semi=diag([0,2,3]); H_nega=diag([-1,-2,-3]);

（二）输入参数

符号 参数含义 H 二次目标矩阵 f 线性目标向量 A 线性不等式矩阵 b 线性不等式向量 Aeq 线性等式约束矩阵 beq 线性等式约束向量 lb 下界 ub 上界

（三）输出参数

符号 参数含义 x 解



















，以实数向量形式返回 wsout 解的热启动对象 fval 再解处的目标函数值 exitflag quadprog停止的原因 output 有关优化过程的信息                    ，以结构体形式返回 lambda 解处的拉格朗日乘数

二




   




   




   




   、MATLAB基础语法

x = quadprog(H,f) x = quadprog(H,f,A,b) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x = quadprog(problem) [x,fval] = quadprog(___) [x,fval,exitflag,output] = quadprog(___) [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___) [wsout,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws)

三
 



 



 



 


、MATLAB典型求解样例

（一）具有线性不等式约束的二次规划

H = [1 -1; -1 2]; f = [-2; -6]; A = [1 1; -1 2; 2 1]; b = [2; 2; 3]; [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b);

x =

0.6667

1.3333

fval = -8.2222

exitflag =

1

（二）具有线性等式约束的二次规划

H = [1 -1; -1 2]; f = [-2; -6]; Aeq = [1 1]; beq = 0; [x,fval,exitflag,output,lambda] = ... quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq)

x = -0.8000

0.8000

fval = -1.6000

exitflag =

1

（三）具有线性约束和边界的二次规划

H = [1,-1,1 -1,2,-2 1,-2,4]; f = [2;-3;1]; lb = zeros(3,1); ub = ones(size(lb)); Aeq = ones(1,3); beq = 1/2; x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)；