阿克曼模型推导

一              、序论

1.1 研究目的

运动学是从几何学的角度研究物体的运动规律
  
  
  
  
  
  
  
，包括物体在空间的位置  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
 、速度等随时间而产生的变化 
  
  
  
  
  
  
 ，因此 


 


 


 


 


 


 


 ，车辆运动学模型应该能反映车辆位置














、速度
  
  
  
  
  
  
  、加速度等与时间的关系              。在车辆轨迹规划过程中应用运动学模型
 
 
 
 
 
 
 
，可以使规划出的轨迹更切合实际  
   
   
   
   
   
   
 ，满足行驶过程中的运动学几何约束 

 

 

 

 

 

 

 ，且基于运动学模型设计出的控制器也能具有更可靠的控制性能  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
 。

1.2 自行车模型

车辆控制研究中

 

 

 

 

 

 

 
，建立模型应尽可能使模型简单易用              ，且能真实反映车辆特性 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 ，搭建车辆模型多基于单车模型














，使用单车模型需做如下假设：

不考虑车辆在Z轴方向的运动                     ，只考虑XY水平面的运动 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ，如图1所示；

左右侧车轮转角一致





















，这样可将左右侧轮胎合并为一个轮胎              ，以便于搭建单车模型 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  ，如图2所示；

车辆行驶速度变化缓慢













，忽略前后轴载荷的转移；

车身及悬架系统是刚性的；

其中
  
  
  
  
  
  
  
，O 为OA  
  
  
  
  
  
  
 、OB的交点 
  
  
  
  
  
  
 ，是车辆的瞬时滚动中心 


 


 


 


 


 


 


 ，线段OA
 


 


 


 


 


 


 


、OB分别垂直于两个滚动轮的方向；β为滑移角
 
 
 
 
 
 
 
，指车辆速度方向和车身朝向两者间所成的角度  
   
   
   
   
   
   
 ，ψ为航向角 

 

 

 

 

 

 

 ，指车身与X轴的夹角














。

一般情况下

 

 

 

 

 

 

 
，我们不考虑车辆滑移              ，β默认为0

1.3 运动学与动力学模型

自行车运动学与动力学公式推导

二
 
 
 
 
 
 
 、阿克曼模型

2.1 阿克曼转向几何

（1）参数定义

阿克曼转向几何(Ackerman Turning Geometry)是一种为了解决交通工具转弯时 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 ，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学
  
  
  
  
  
  
  。

车轮偏角定义：

阿克曼转向几何：

阿克曼中转弯半径R是重要参数

（2）转弯半径R

低速环境下














，车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢                     ，此时我们可以假设车辆的方向变化率等于车辆的角速度  
  
  
  
  
  
  
 。则车辆的角速度为

其中 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ，利用弧长与角度关系





















，可得到 1/R = δ/L：

则              ，可求得半径R：

R = L / δ 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  ，其中 δ为前轮转角













，也是车辆绕圆心点转过的角度

2.2 利用半径R更新车辆位置

利用转弯半径R更新车辆位置点（X(t+1), Y(t+1)

且根据弧长与角度关系知
  
  
  
  
  
  
  
，车辆在t时间内移动距离为 V*t 距离 
  
  
  
  
  
  
 ，则可推到出车辆转过的角度θ：

θ = V * t / R , R = L / δ

则 θ = V * t * δ / L

根据车辆转过的角度更新车辆位置点：（车辆坐标系下位置更新）

X(t + 1) = R * (1 - cos(θ))

Y(t + 1) = R * sin(θ)

2.3 转弯半径的另一种表达

由于两个前轮的转向角度不同 


 


 


 


 


 


 


 ，造成了
 
 
 
 
 
 
 
，两个后轮旋转半径也不相同  
   
   
   
   
   
   
 ，于是 

 

 

 

 

 

 

 ，做出了相应的简化

 

 

 

 

 

 

 
，以车辆后轴中心点为旋转参考点              ，对车辆左前轮角度和右前轮角度取均值：

前轮平均转角：

式中 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 ，δ为简化后车辆前轮转向角














，δ 和δf                     ，δr 分别为对应的车辆左侧前轮角度和右侧前轮转向角度
 


 


 


 


 


 


 


。

根据图中几何关系 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ，知





















，tan(δ) = L / R；

其中              ，δ为车辆前轮转角 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  ，L 为车辆前后轴之间的距离













，R 为车辆在给定的前轮转角δ情况下
  
  
  
  
  
  
  
，所遵循的圆轨迹的半径
 
 
 
 
 
 
 。

三   
   
   
   
   
   
   
 、总结

3.1 状态方程

3.2 航向角更新

（1）航向角变化率与转角与滑移角关系

其中 
  
  
  
  
  
  
 ，滑移角β默认为0时 


 


 


 


 


 


 


 ，则cos(β) = 1
 
 
 
 
 
 
 
，默认后轮不转动  
   
   
   
   
   
   
 ，则δr = 0, tan(δr) = 0 

 

 

 

 

 

 

 ，即航向角变化率

 

 

 

 

 

 

 
，l = lf + lr

参考链接

https://blog.csdn.net/u013914471/article/details/82968608 https://blog.csdn.net/asafield/article https://blog.csdn.net/qq_24649627/article