python用于数学建模（Python数学建模三剑客之Numpy）

时间2025-08-04 17:59:34分类IT科技浏览4887

导读：三剑客之Numpy...

三剑客之Numpy

numpy是一个开源的python科学计算库，包含了很多实用的数学函数，涵盖线性代数、傅里叶变换和随机数生成等功能。最初的numpy其实是scipy的一部分，后来才从scipy中分离出来。

numpy不是python的标准库，需要单独安装。假定你的运行环境已经安装了python包管理工具pip ，numpy的安装就非常简单：

pipinstallnumpy

一、数组对象

ndarray是多维数组对象，也是numpy最核心的对象。在numpy中，数组的维度(dimensions)叫做轴(axes) ，轴的个数叫做秩(rank) 。通常，一个numpy数组的所有元素都是同一种类型的数据，而这些数据的存储和数组的形式无关。

下面的例子，创建了一个三维的数组（在导入numpy时，一般都简写成np）。

importnumpyasnp a=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

1 、数据类型

numpy支持的数据类型主要有布尔型(bool) 、整型(integrate) 、浮点型(float)和复数型(complex)，每一种数据类型根据占用内存的字节数又分为多个不同的子类型。常见的数据类型见下表。

2 、创建数组

通常，我们用np.array()创建数组。如果仅仅是创建一维数组，也可以使用np.arange()或者np.linspace()的方法。np.zeros() 、np.ones() 、np.eye()则可以构造特殊的数据。np.random.randint()和np.random.random()则可以构造随机数数组。

>>>np.array([[1,2,3],[4,5,6]])#默认元素类型为int32 array([[1,2,3], [4,5,6]]) >>>np.array([[1,2,3],[4,5,6]],dtype=np.int8)#指定元素类型为int8 array([[1,2,3], [4,5,6]],dtype=int8) >>>np.arange(5)#默认元素类型为int32 array([0,1,2,3,4]) >>>np.arange(3,8,dtype=np.int8)#指定元素类型为int8 array([3,4,5,6,7],dtype=int8) >>>np.arange(12).reshape(3,4)#改变shape array([[0,1,2,3], [4,5,6,7], [8,9,10,11]]) >>>np.linspace(1,2,5)#从1到2生成5个浮点数 array([1.,1.25,1.5,1.75,2.]) >>>np.zeros((2,3))#全0数组 array([[0.,0.,0.], [0.,0.,0.]]) >>>np.ones((2,3))#全1数组 array([[1.,1.,1.], [1.,1.,1.]]) >>>np.eye(3)#主对角线元素为1其他元素为0 array([[1.,0.,0.], [0.,1.,0.], [0.,0.,1.]]) >>>np.random.random((2,3))#生成[0,1)之间的随机浮点数 array([[0.84731148,0.8222318,0.85799278], [0.59371558,0.92330741,0.04518351]]) >>>np.random.randint(0,10,(3,2))#生成[0,10)之间的随机整数 array([[2,4], [8,3], [8,5]])

3 、构造复杂数组

很多时候，我们需要从简单的数据结构，构造出复杂的数组。例如，用一维的数据生成二维格点。

（1）重复数组：tile

>>>a=np.arange(5) >>>a array([0,1,2,3,4]) >>>np.tile(a,2) array([0,1,2,3,4,0,1,2,3,4]) >>>np.tile(a,(3,2)) array([[0,1,2,3,4,0,1,2,3,4], [0,1,2,3,4,0,1,2,3,4], [0,1,2,3,4,0,1,2,3,4]])

（2）重复元素：repeat

>>>a=np.arange(5) >>>a array([0,1,2,3,4]) >>>a.repeat(2) array([0,0,1,1,2,2,3,3,4,4])

（3）一维数组网格化：meshgrid

>>>a=np.arange(5) >>>b=np.arange(5,10) >>>np.meshgrid(a,b) [array([[0,1,2,3,4], [0,1,2,3,4], [0,1,2,3,4], [0,1,2,3,4], [0,1,2,3,4]]),array([[5,5,5,5,5], [6,6,6,6,6], [7,7,7,7,7], [8,8,8,8,8], [9,9,9,9,9]])] >>>

（4）指定范围和分割方式的网格化：mgrid

>>>np.mgrid[0:1:2j,1:2:3j] array([[[0.,0.,0.], [1.,1.,1.]], [[1.,1.5,2.], [1.,1.5,2.]]]) >>>np.mgrid[0:1:0.3,1:2:0.4] array([[[0.,0.,0.], [0.3,0.3,0.3], [0.6,0.6,0.6], [0.9,0.9,0.9]], [[1.,1.4,1.8], [1.,1.4,1.8], [1.,1.4,1.8], [1.,1.4,1.8]]])

上面的例子中用到了虚数。构造虚数的方法如下：

>>>complex(2,5) (2+5j)

4 、数组的属性

numpy的数组对象除了一些常规的属性外，也有几个类似转置、扁平迭代器等看起来更像是方法的属性。扁平迭代器也许是遍历多维数组的一个简明方法，下面的代码给出了一个例子。

>>>a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) >>>a.dtype#数组元素的数据类型 dtype(int32) >>>a.dtype.itemsize#数组元素占据的内存字节数 4 >>>a.itemsize#数组元素占据的内存字节数 4 >>>a.shape#数组的维度 (2,3) >>>a.size#数组元素个数 6 >>>a.T#数组行变列，类似于transpose() array([[1,4], [2,5], [3,6]]) >>>a.flat#返回一个扁平迭代器，用于遍历多维数组 <numpy.flatiterobjectat0x037188F0> >>>foritemina.flat: printitem

5 、改变数组维度

numpy数组的存储顺序和数组的维度是不相干的，因此改变数组的维度是非常便捷的操作，除resize()外，这一类操作不会改变所操作的数组本身的存储顺序。

>>>a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) >>>a.shape#查看数组维度 (2,3) >>>a.reshape(3,2)#返回3行2列的数组 array([[1,2], [3,4], [5,6]]) >>>a.ravel()#返回一维数组 array([1,2,3,4,5,6]) >>>a.transpose()#行变列（类似于矩阵转置） array([[1,4], [2,5], [3,6]]) >>>a.resize((3,2))#类似于reshape ，但会改变所操作的数组 >>>a array([[1,2], [3,4], [5,6]])

6、索引和切片

对于一维数组的索引和切片，numpy和python的list一样，甚至更灵活。

a=np.arange(9) >>>a[-1]#最后一个元素 8 >>>a[2:5]#返回第2到第5个元素 array([2,3,4]) >>>a[:7:3]#返回第0到第7个元素，步长为3 array([0,3,6]) >>>a[::-1]#返回逆序的数组 array([8,7,6,5,4,3,2,1,0])

假设有一栋2层楼，每层楼内的房间都是3排4列，那我们可以用一个三维数组来保存每个房间的居住人数（当然，也可以是房间面积等其他数值信息）。

>>>a=np.arange(24).reshape(2,3,4)#2层3排4列 >>>a array([[[0,1,2,3], [4,5,6,7], [8,9,10,11]], [[12,13,14,15], [16,17,18,19], [20,21,22,23]]]) >>>a[1][2][3]#虽然可以这样 23 >>>a[1,2,3]#但这才是规范的用法 23 >>>a[:,0,0]#所有楼层的第1排第1列 array([0,12]) >>>a[0,:,:]#1楼的所有房间，等价与a[0]或a[0,...] array([[0,1,2,3], [4,5,6,7], [8,9,10,11]]) >>>a[:,:,1:3]#所有楼层所有排的第2到4列 array([[[1,2], [5,6], [9,10]], [[13,14], [17,18], [21,22]]]) >>>a[1,:,-1]#2层每一排的最后一个房间 array([15,19,23])

7 、数组合并

数组合并除了下面介绍的水平合并、垂直合并、深度合并外，还有行合并、列合并，以及concatenate()等方式。假如你比我还懒，那就只了解前三种方法吧，足够用了。

>>>a=np.arange(9).reshape(3,3) >>>b=np.arange(9,18).reshape(3,3) >>>a array([[0,1,2], [3,4,5], [6,7,8]]) >>>b array([[9,10,11], [12,13,14], [15,16,17]]) >>>np.hstack((a,b))#水平合并 array([[0,1,2,9,10,11], [3,4,5,12,13,14], [6,7,8,15,16,17]]) >>>np.vstack((a,b))#垂直合并 array([[0,1,2], [3,4,5], [6,7,8], [9,10,11], [12,13,14], [15,16,17]]) >>>np.dstack((a,b))#深度合并 array([[[0,9], [1,10], [2,11]], [[3,12], [4,13], [5,14]], [[6,15], [7,16], [8,17]]])

8 、数组拆分

拆分是合并的逆过程，概念是一样的，但稍微有一点不同：

>>>a=np.arange(9).reshape(3,3) >>>np.hsplit(a,3)#水平拆分，返回list [array([[0], [3], [6]]),array([[1], [4], [7]]),array([[2], [5], [8]])] >>>np.vsplit(a,3)#垂直拆分，返回list [array([[0,1,2]]),array([[3,4,5]]),array([[6,7,8]])] >>>a=np.arange(27).reshape(3,3,3) >>>np.dsplit(a,3)#深度拆分，返回list [array([[[0], [3], [6]], [[9], [12], [15]], [[18], [21], [24]]]),array([[[1], [4], [7]], [[10], [13], [16]], [[19], [22], [25]]]),array([[[2], [5], [8]], [[11], [14], [17]], [[20], [23], [26]]])]

9 、数组运算

数组和常数的四则运算，是数组的每一个元素分别和常数运算；数组和数组的四则运算则是两个数组对应元素的运算（两个数组有相同的shape ，否则抛出异常）。

>>>a=np.arange(4,dtype=np.float32).reshape(2,2) >>>b=np.arange(4,8,dtype=np.float32).reshape(2,2) >>>a+2#数组和常数可以进行四则运算 array([[2.,3.], [4.,5.]],dtype=float32) >>>a/b#数组和数组可以进行四则运算 array([[0.,0.2], [0.33333334,0.42857143]],dtype=float32) >>>a==b#最神奇的是，数组可以判断对应元素是否相等 array([[False,False], [False,False]],dtype=bool) >>>(a==b).all()#判断数组是否相等 False

特别提示：如果想对数组内符合特定条件的元素做特殊处理，下面的代码也许有用。

>>>a=np.arange(6).reshape((2,3)) >>>a array([[0,1,2], [3,4,5]]) >>>(a>2)&(a<=4) array([[False,False,False], [True,True,False]],dtype=bool) >>>a[(a>2)&(a<=4)] array([3,4]) >>>a[(a>2)&((a<=4))]+=10 >>>a array([[0,1,2], [13,14,5]])

10 、数组方法和常用函数

数组对象本身提供了计算算数平均值、求最小值等内置方法，numpy也提供了很多实用的函数。为了缩减篇幅，下面的代码仅以一维数组为例，展示了这些方法和函数用法。事实上，大多数情况下这些方法和函数对于多维数组同样有效，只有少数例外，比如compress函数。

>>>a=np.array([3,2,4]) >>>a.sum()#所有元素的和 9 >>>a.prod()#所有元素的乘积 24 >>>a.mean()#所有元素的算数平均值 3.0 >>>a.max()#所有元素的值 4 >>>a.min()#所有元素的最小值 2 >>>a.clip(3,4)#小于3的元素替换为3 ，大于4的元素替换为4 array([3,3,4]) >>>a.compress(a>2)#返回大于2的元素组成的数组 array([3,4]) >>>a.tolist()#返回python的list [3,2,4] >>>a.var()#计算方差（元素与均值之差的平方的均值） 0.66666666666666663 >>>a.std()#计算标准差（方差的算术平方根） 0.81649658092772603 >>>a.ptp()#返回数组的值和最小值之差 2 >>>a.argmin()#返回最小值在扁平数组中的索引 1 >>>a.argmax()#返回值在扁平数组中的索引 2 >>>np.where(a==2)#返回所有值为2的元素的索引 (array([1]),) >>>np.diff(a)#返回相邻元素的差 array([-1,2]) >>>np.log(a)#返回对数数组 array([1.09861229,0.69314718,1.38629436]) >>>np.exp(a)#返回指数数组 array([20.08553692,7.3890561,54.59815003]) >>>np.sqrt(a)#返回开方数组 array([1.73205081,1.41421356,2.]) >>>np.msort(a)#数组排序 array([2,3,4]) >>>a=np.array([1,4,7]) >>>b=np.array([8,5,2]) >>>np.maximum(a,b)#返回多个数组中对应位置元素的值数组 array([8,5,7]) >>>np.minimum(a,b)#返回多个数组中对应位置元素的最小值数组 array([1,4,2]) >>>np.true_divide(a,b)#对整数实现真正的数学除法运算 array([0.125,0.8,3.5])

二、矩阵对象

matrix是矩阵对象，继承自ndarray类型，因此含有ndarray的所有数据属性和方法。不过，当你把矩阵对象当数组操作时，需要注意以下几点：

matrix对象总是二维的，即使是展平（ravel函数）操作或是成员选择，返回值也是二维的

matrix对象和ndarray对象混合的运算总是返回matrix对象

1 、创建矩阵

matrix对象可以使用一个Matlab风格的字符串来创建（以空格分隔列，以分号分隔行的字符串），也可以用数组来创建。

>>>np.mat(147;258;369) matrix([[1,4,7], [2,5,8], [3,6,9]]) >>>np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3)) matrix([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])

2 、矩阵的特有属性

矩阵有几个特有的属性使得计算更加容易，这些属性有：

>>>m=np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3)) >>>m matrix([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]) >>>m.T#返回自身的转置 matrix([[1,4,7], [2,5,8], [3,6,9]]) >>>m.H#返回自身的共轭转置 matrix([[1,4,7], [2,5,8], [3,6,9]]) >>>m.I#返回自身的逆矩阵 matrix([[-4.50359963e+15,9.00719925e+15,-4.50359963e+15], [9.00719925e+15,-1.80143985e+16,9.00719925e+15], [-4.50359963e+15,9.00719925e+15,-4.50359963e+15]]) >>>m.A#返回自身数据的二维数组的一个视图 array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])

3 、矩阵乘法

对ndarray对象而言，星号是按元素相乘，dot()函数则当作矩阵相乘。对于matrix对象来说，星号和dot()函数都是矩阵相乘。特别的，对于一维数组，dot()函数实现的是向量点乘（结果是标量），但星号实现的却不是差乘。

>>>a=np.array([1,2,3]) >>>b=np.array([4,5,6]) >>>a*b#一维数组，元素相乘 array([4,10,18]) >>>np.dot(a,b)#一维数组，元素相乘再求和 32 >>>a=np.array([[1,2],[3,4]]) >>>b=np.array([[5,6],[7,8]]) >>>a*b#多维数组，元素相乘 array([[5,12], [21,32]]) >>>np.dot(a,b)#多维数组，实现的是矩阵相乘 array([[19,22], [43,50]]) >>>m=np.mat(a) >>>n=np.mat(b) >>>np.dot(m,n)#矩阵相乘 matrix([[19,22], [43,50]]) >>>m*n#矩阵相乘 matrix([[19,22], [43,50]])

三、线性代数模块

numpy.linalg 是numpy的线性代数模块，可以用来解决逆矩阵、特征值、线性方程组以及行列式等问题。

1、计算逆矩阵

尽管matrix对象本身有逆矩阵的属性，但用numpy.linalg模块求解矩阵的逆，也是非常简单的。

m=np.mat(012;103;4-38) mi=np.linalg.inv(m)#mi即为m的逆矩阵。何以证明？ m*mi#矩阵与其逆矩阵相乘，结果为单位矩阵 matrix([[1.,0.,0.], [0.,1.,0.], [0.,0.,1.]])

2 、计算行列式

如何计算行列式，我早已经不记得了，但手工计算行列式的痛苦，我依然记忆犹新。现在好了，你在手机上都可以用numpy轻松搞定（前提是你的手机上安装了python + numpy）。

m=np.mat(012;103;4-38) np.linalg.det(m)#什么？这就成了？ 2.0

3 、计算特征值和特征向量

m=np.mat(012;103;4-38) >>>np.linalg.eigvals(m)#计算特征值 array([7.96850246,-0.48548592,0.51698346]) >>>np.linalg.eig(m)#返回特征值及其对应特征向量的元组 (array([7.96850246,-0.48548592,0.51698346]),matrix([[0.26955165,0.90772191,-0.74373492], [0.36874217,0.24316331,-0.65468206], [0.88959042,-0.34192476,0.13509171]]))

4、求解线性方程组

有线性方程组如下：

x-2y+z=0 2y-8z=8 -4x+5y+9z=-9

求解过程如下：

>>>A=np.mat(1-21;02-8;-459) >>>b=np.array([0,8,-9]) >>>np.linalg.solve(A,b) array([29.,16.,3.])#x=29,y=16,z=3

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