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   、Leaky ReLU激活函数
 



 



 



 


、Parametric ReLU激活函数详细介绍及其原理详解 Xavier参数初始化方法和Kaiming参数初始化方法详细介绍及其原理详解

前言

  本文总结了关于激活函数                    、

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数 




    




    




    




   、

t

a

n

h

tanh

tanh激活函数



















、

R

e

L

U

ReLU

ReLU激活函数                    、

L

e

a

k

y

R

e

L

U

Leaky \quad ReLU

LeakyReLU激活函数  



     



     



     



   、

P

a

r

a

m

e

t

r

i

c

R

e

L

U

Parametric \quad ReLU

ParametricReLU激活函数的相关内容    
    
    
    
，详细介绍了其原理以及优缺点   


     


     


     


  ，本文的全部内容如下所示  
    
    
    
  。

一



















、激活函数

1.1 什么是激活函数

  设想这么一种情况



 




 




 




 
，假如我们现在由输入值

x

x

x   

   

   

   

，经过线性变换

y

1

=

w

1

x

+

b

1

y_{1}=w_{1}x+b_{1}

y1​=w1​x+b1​    

     

     

     

 ，得到

y

1

y_1

y1​




  




  




  




  ，这个过程如下图所示：

  很明显这个线性变换就是一条直线  


  


  


  


，它的图像可能类似如下图所示的增函数：

  那如果我们在之前的基础上再做一次线性变换

y

2

=

w

2

y

1

+

b

2

y_{2}=w_{2}y_{1}+b_{2}

y2​=w2​y1​+b2​     
     
     
     
，得到

y

2

y_{2}

y2​




   




   




   




   ，那么整个过程就如下图所示：

  因为我们做的是线性变换
 



 



 



 


，所以说得到的函数图像仍是一条直线                    ，虽然可能变成了如下图所示的减函数：

  所以说 




    




    




    




   ，就算将很多的线性变换叠加为神经网络



















，最终也只能解决线性的问题

     


     


     


     
。对于下图来说                    ，虽然每个神经元都可以进行一次计算  



     



     



     



   ，但是计算的结果都是线性变换后的结果



















，最终也只能解决线性拟合问题 




 




 




 




。

  但是在日常生活中    
    
    
    
，我们遇到的大部分情况都是非线性问题   


     


     


     


  ，那么该如何利用神经网络解决非线性问题呢？在讲解这个问题之前



 




 




 




 
，让我们先回顾一下高中生物的一个知识点：神经元   

   

   

   

，这个结构如下图所示：

  首先树突接受上一个神经元的信号    

     

     

     

 ，然后由轴突引起内外电荷数量的变化




  




  




  




  ，得到一个动作电压  


  


  


  


，最终使整个神经元被激活     
     
     
     
，将得到的经过激活后的信号继续向后传导  

   

   

   

 。而深度学习也借鉴了这个过程




   




   




   




   ，每个神经元计算后的结果需要传入非线性函数

f

f

f进行非线性计算
 



 



 



 


，这个过程把非线性函数

f

f

f当作是从输入到输出的激活过程                    ，所以此非线性函数也被称为激活函数（Activation Function） 




    




    




    




   ，经过激活函数计算后的值

o

o

o才是此神经元最终的输出值

     

     

     

     。

1.2 使用激活函数后如何更新参数

  我们之前学过



















，可以利用梯度下降算法来最优化参数                    ，那么使用激活函数后如何应用梯度下降来更新参数呢？其实这个问题很简单  



     



     



     



   ，我们只需要多计算两步：

损失函数

L

L

L对激活值

o

o

o的偏导 激活函数

f

f

f对预测值

y

y

y的偏导

  整个过程如下图所示：

1.3 成为激活函数的条件

  让我们再考虑一个问题



















，现实世界中有数以万计的函数    
    
    
    
，谁都可以成为激活函数么？很显然是不是的   


     


     


     


  ，某个函数要想作为激活函数来使用



 




 




 




 
，应满足以下几点要求：

为了避免只能解决线性问题   

   

   

   

，所以激活函数应是非线性函数 为了使用梯度下降算法来最优化参数    

     

     

     

 ，所以激活函数应是连续可导函数 为了数值上的稳定




  




  




  




  ，激活函数应能映射所有的实数  


  


  


  


，所以激活函数的定义域应为

R

\mathbb{R}

R 为了只是增加非线性     
     
     
     
，不改变对输入的响应状态




   




   




   




   ，所以激活函数应是单调递增的

S

S

S型曲线

  现在
 



 



 



 


，我们已经了解了什么是激活函数                    ，那么在我们平时使用神经网络时 




    




    




    




   ，究竟都在使用哪些激活函数呢？下面将对常用的一些激活函数进行详解  




  




  




  




。

二    
    
    
    
、

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数

2.1

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数介绍

  刚才我们也提到了



















，一个函数要想成为激活函数                    ，需要满足很多条件  



     



     



     



   ，那么什么函数可以满足这些条件呢？目前我们比较常用的就是

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid

激活函数



















，可以有效地处理非线性问题    
    
    
    
，其函数解析式为：

σ

=

1

1

+

e

−

y

\sigma=\frac{1}{1+e^{-y}}

σ=1+e−y1​   

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数的函数图像为：

  由其函数图像可以看到   


     


     


     


  ，

S

i

g

m

i

o

d

Sigmiod

Sigmiod激活函数是一个典型的非线性函数



 




 




 




 
，将输入映射至0~1之间  


  


  


  


。而且   

   

   

   

，

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数还可由希腊字母

σ

\sigma

σ表示
     
     
     
     。

  通常    

     

     

     

 ，我们需要使用经过激活函数

f

f

f（对于

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数来说




  




  




  




  ，此时的

f

f

f就是

σ

′

\sigma^{\prime}

σ′）激活后的值与真实值之间的误差形成的误差函数

L

L

L来进行参数最优化  


  


  


  


，也就是刚才提到的内容     
     
     
     
，这也就需要得到

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid

激活函数的导函数：

σ

′

=

(

1

1

+

e

−

y

)

′

=

−

(

1

1

+

e

−

y

)

2

(

−

e

−

y

)

=

e

−

y

(

1

+

e

−

y

)

2

=

1

1

+

e

−

y

e

−

y

1

+

e

−

y

=

σ

(

1

−

σ

)

\begin{aligned} \sigma^{\prime} & =\left(\frac{1}{1+e^{-y}}\right)^{\prime} \\ & =-\left(\frac{1}{1+e^{-y}}\right)^{2}\left(-e^{-y}\right) \\ & =\frac{e^{-y}}{\left(1+e^{-y}\right)^{2}} \\ & =\frac{1}{1+e^{-y}} \frac{e^{-y}}{1+e^{-y}} \\ & =\sigma(1-\sigma) \end{aligned}

σ′​=(1+e−y1​)′=−(1+e−y1​)2(−e−y)=(1+e−y)2e−y​=1+e−y1​1+e−ye−y​=σ(1−σ)​   

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数的导函数

σ

′

\sigma^{\prime}

σ′的图像如下图所示




   




   




   




   ，类似于一个倒立的钟形图像
 



 



 



 


，其最大值为0.25
   




   




   




   



。经过观察发现                    ，当

y

y

y值较大或较小时 




    




    




    




   ，

σ

′

\sigma^{\prime}

σ′的值为0



















，这种函数我们也称其为饱和函数 



 



 



 



。

  此时                    ，让我们将目光再次聚焦到

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数的函数图像上  



     



     



     



   ，我们可以注意到



















，

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数的函数值总是大于0的    
    
    
    
，所以经过激活后的值   


     


     


     


  ，也都大于0                    。这种函数也被称为非零均值函数



 




 




 




 
，如下图所示：

  既然

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数的函数值永远大于0   

   

   

   

，那么这样的结果会如何呢？我们可以使用之前的例子进行说明    

     

     

     

 ，图示如下




  




  




  




  ，需要注意此时的激活函数

f

f

f为

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数

σ

\sigma

σ：

  因为刚才提到  


  


  


  


，

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数的函数值永远大于0     
     
     
     
，所以上图中黄色部分永远大于0




   




   




   




   ，那么

∂

L

∂

w

1

\frac{\partial L}{\partial w_{1}}

∂w1​∂L​与

∂

L

∂

w

2

\frac{\partial L}{\partial w_{2}}

∂w2​∂L​的正负就取决于红框内

∂

L

∂

o

\frac{\partial L}{\partial o}

∂o∂L​的正负
 



 



 



 


，这就意味着

w

1

w_{1}

w1​和

w

2

w_{2}

w2​的梯度符号始终一致                    ，最终导致参数

w

1

w_{1}

w1​和

w

2

w_{2}

w2​被同时正向或者反向更新 




    




    




    




   ，这种情况会使神经网络更慢的收敛到预定位置

    




    




    




    


。所以说



















，

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid这样的非零均值激活函数会导致神经网络不易收敛



















。

2.2 梯度消失

  我们刚刚提到                    ，

σ

′

\sigma^{\prime}

σ′的最大值为0.25  



     



     



     



   ，所以



















，在利用梯度下降算法进行参数最优化的过程    
    
    
    
，其中在进行反向传播计算梯度的时候   


     


     


     


  ，每层的梯度会被动缩小大约

1

4

\frac{1}{4}

41​



 




 




 




 
，如下图所示：

  这种情况看起来很糟对不对   

   

   

   

，但是根据

σ

′

\sigma^{\prime}

σ′的图像可知    

     

     

     

 ，其还有另一个特点：当

y

y

y的值很大或者很小时




  




  




  




  ，

σ

′

\sigma^{\prime}

σ′的值为0                    。那么也就意味着  


  


  


  


，当进行反向转播求导时     
     
     
     
，可能在某一层的梯度几乎为0




   




   




   




   ，那么会导致参数不会被更新
 



 



 



 


，这个过程如下图所示（绿色对号代表正常计算                    ，没有错误；红色叉号代表

σ

′

\sigma^{\prime}

σ′几乎为零）

     



     



     



     

。这种更糟糕的现象也被称为梯度消失 




    




    




    




   ，而

σ

′

\sigma^{\prime}

σ′又可以被称为饱和函数



















，所以饱和函数会导致梯度消失



















。

三   


     


     


     


  、

t

a

n

h

tanh

tanh激活函数

  经过刚才的讲解可以发现                    ，

S

i

g

m

o

i

d

Sigmoid

Sigmoid激活函数虽然使用较简单  



     



     



     



   ，但是存在很多严重的问题



















，为了解决这些问题    
    
    
    
，研究人员提出另一种激活函数   


     


     


     


  ，也就是我们平时经常使用的

t

a

n

h

tanh

tanh激活函数



 




 




 




 
，

t

a

n

h

tanh

tanh函数又名为双曲正切函数   

   

   

   

，这也是我们在高等数学中常用的一个函数  
    
    
    
  。既然要使用

t

a

n

h

tanh

tanh

函数作为激活函数使用    

     

     

     

 ，我们就要对其基本性质进行了解




  




  




  




  ，其函数解析式为：

tanh

⁡

=

1

−

e

−

y

1

+

e

−

y

\tanh =\frac{1-e^{-y}}{1+e^{-y}}

tanh=1%3