一            、状态空间描述中两处噪声的理论假设

首先放出基本公式

状态方程：x(k) = Ax(k-1)+Bu(k-1)+w(k-1)

观测方程：y(k)=Cx(k)+v(k)

其中
  
  
  
  
  
 ，w(k-1)为过程噪声  
  
  
  
  
  ，通常记作Q
 


 


 


 


 


 

，v(k)为观测噪声
 
 
 
 
 
，通常记作R
  
  
  
  
  
 。

标准卡尔曼滤波对于Q和R的要求主要有四点：

1.互不相关

2.零均值

3.高斯白噪声序列

4.Q   
   
   
   
   
   ，R分别是已知值的非负定阵和正定阵

也即：

 其中：

二
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
、两处噪声如何从工程应用中获取

过程噪声Q：

构建所研究问题的“理想状态
  
  
  
  
  
 ”
 

 

 

 

 

 
，与实际情况进行对比实验

 

 

 

 

 

，用所得的样本方差作为Q

例如研究滑块运动时            ，可以将在相对光滑表面的运动数据作为理想情况
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 ，与实际粗糙表面的情况进行对比；或是控制一个无人小车











，在dt时间内                 ，它其实是近圆弧行驶的 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ，但我们研究时常常将它近似为线性模型了

















，因此产生的系统误差可以计算出一个范围阈值

观测噪声R：

这一噪声相对容易获取           ，通常依据传感器精度即可  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 ，直接进行观测实验











，用样本方差作为Q

例如一个温度计的误差是±0.5
  
  
  
  
  
 ，观测噪声R=0.5^2=0.25

三










、两处噪声对于卡尔曼滤波估计误差的影响

事实上  
  
  
  
  
  ，我认为现阶段很难直接构建过程噪声Q和过程噪声R的具体数值与卡尔曼滤波估计的误差之间的线性关系
 


 


 


 


 


 

，目前的研究主要集中在寻求Q和R的最优化组合

比如通过遗传算法来寻求这个最佳方差组合
 
 
 
 
 
，可以参阅这篇文献：

[1]郭应时,王畅,张亚岐.噪声方差对卡尔曼滤波结果影响分析[J].计算机工程与设计,2014,35(02):641-645.DOI:10.16208/j.issn1000-7024.2014.02.016.

但需注意   
   
   
   
   
   ，在工程实际问题中
 

 

 

 

 

 
，Q和R一定是客观存在的

 

 

 

 

 

，我们尽力减小Q和R            ，通常更有助于我们获取更优的估计结果  
  
  
  
  
  。