OTF咖啡（OTFS从零开始（一））
延迟—多普勒信号表示
传统信号有两种表示方法 。一种是时间表示法 ，即信号作为时间的函数（delta函数的叠加） ，另一种是频率表示法 ，即信号作为频率的函数（复指数的叠加） 。这两种表示法可以用傅里叶变换来互相变换 。
而时间表示和频率表示是互补的 。这种互补性的数学表达方式是由海森堡不确定性原理确定的 ，该原理指出一个信号不能同时在时间和频率上被定位到任何理想的程度 。具体来说 ，如果一个信号在频域上确定的 ，比如s
i
n
t
sint
sint函数 ，那它在时域上是无限蔓延的 。
这个数学事实隐藏着一个更深的真相 。事实证明 ，存在着这样的信号 ，它们在时间和频率上都表现得像同时被定位到任何所需的程度 ，这一特性使它们成为延迟多普勒雷达多目标探测和无线通信的最佳选择（这两个用例被证明是密切相关的） 。这些特殊的信号在一种叫做延迟多普勒表示法的表示法中自然与局部脉冲相关 。延迟多普勒表示法中的信号是二维域上的特殊类型的函数 ，称为延迟多普勒平面 ，其点由两个变量𝜏 、𝜐参数化 ，其中第一个变量称为延迟 ，第二个变量称为多普勒 。
延迟多普勒信道表示在无线通信中特别有意义 ，它与组成反射器的延迟多普勒雷达图像相吻合 。图2显示了一个特定信道的延迟-多普勒表示法的例子 ，该信道由两个主要的反射器组成 ，它们有相似的延迟（范围） ，但在它们的多普勒特性（速度）上有所不同 。
准周期函数（quais-periodic functions）选择一个延迟周期
τ
r
\tau_r
τr和一个多普勒周期υ
r
\upsilon_r
υr ，使它们满足τ
r
υ
r
=
1
\tau_r\upsilon_r=1
τrυr=1 ，这就构造了一个单位面积的盒子 。延迟多普勒信号是一个满足以下准周期性条件的函数ϕ
(
τ
,
υ
)
\phi(\tau,\upsilon)
ϕ(τ,υ)：
ϕ
(
τ
+
n
τ
r
,
υ
+
m
υ
r
)
=
e
j
2
π
(
n
υ
τ
r
−
m
τ
υ
r
)
ϕ
(
τ
,
υ
)
\phi(\tau+n\tau_r,\upsilon+m\upsilon_r)=e^{j2\pi(n\upsilon\tau_r-m\tau\upsilon_r)}\phi(\tau,\upsilon)
ϕ(τ+nτr,υ+mυr)=ej2π(nυτr−mτυr)ϕ(τ,υ) 这意味着此函数的周期性是由相位的倍数决定的 ，换句话说 ，函数值在每增加一个延迟周期τ
r
\tau_r
τr时会获得一个等于e
j
2
π
υ
τ
r
e^{j2π\upsilonτ_r }
ej2πυτr的相位系数 ，对应的 ，在每增加一个多普勒周期υ
r
\upsilon_r
υr时会获得一个等于e
−
j
2
π
τ
υ
r
e^{-j2π\tau\upsilon_r }
e−j2πτυr的相位系数 。
总而言之 ，有三种基本方式来表示一个信号 。第一种方式是作为时间的函数 ，第二种方式是作为频率的函数 ，第三种方式是作为延迟和多普勒的准周期函数 。如图4所示 ，这三种可供选择的表示方法可以通过典范变换进行互换 。时间和频率表示法之间的转换是通过傅里叶变换进行的 。延迟-多普勒和时间与频率表示法之间的转换分别通过Zak变换Z
t
Z_t
Zt和Z
f
Z_f
Zf进行 。Zak变换是通过周期性的傅里叶积分公式来实现的 。
也就是说 ，到时域的Zak变换是由经过一个多普勒周期的逆傅里叶变换推出的 ，对应的 ，到频域的多普勒变换是由经过一个延迟周期的傅里叶变换推出的。我们注意到 ，对于Zak变换而言 ，准周期性是这种一对一的在一维轴和二维平面上的相等关系的前提 。如果缺少准周期性 ，在一维轴上的信号会有无穷多个延迟-多普勒表示方法 。
信号处理的一般框架
信号处理的总体框架包括三种信号表示方法–(1)时间(2)频率(3)延迟-多普勒 ，可通过典型变换的方式进行互换 。如图5所示 ，该框架可以被整齐地组织成一个三角形的形式 。三角形的节点代表三种表征 ，边缘代表在它们之间转换的典型转换规则 。
特别的是傅里叶变换F
T
FT
FT可以写Z
t
Z_t
Zt和Z
f
−
1
Z_f^{-1}
Zf−1乘积的形式：
F
T
=
Z
t
∘
Z
f
−
1
FT=Z_t\circ Z_f^{-1}
FT=Zt∘Zf−1 进一步抽象发现延迟多普勒表示法不唯一 ，取决于我们选的一对满足τ
r
υ
r
=
1
\tau_r\upsilon_r=1
τrυr=1的（
τ
r
,
υ
r
）
（\tau_r,\upsilon_r）
（τr,υr） 。这意味着有一个连续的延迟多普勒表示族 ，对应于双曲线υ
r
=
1
/
τ
r
\upsilon_r=1/ \tau_r
υr=1/τr上的点 ，如图6所示 。
研究当变量τ
r
→
∞
\tau_r→ ∞
τr→∞和变量υ
r
→
∞
\upsilon_r → ∞
υr→∞时 。在第一个极限中 ，延迟周期的延长是以多普勒周期的收缩为代价的 ，因此在极限中收敛为一个与时间表示相吻合的一维表示 。反之 ，在第二个极限中 ，多普勒周期的延长是以延迟周期的收缩为代价的 ，因此在极限中收敛为一个与频率表示法相一致的一维表示法 。因此 ，时间和频率表示法可以被看作是更一般的延迟-多普勒表示法系列的极限情况 。所有的延迟-多普勒表示都可以通过适当定义的扎克变换进行互换 ，扎克变换满足换位关系 ，即前面讨论的三角形关系 。这意味着沿曲线的任何一对表征之间的转换都与选择哪条多边形路径来连接它们无关 。从哲学的角度看 ，延迟多普勒表示和相关的扎克变换构成了信号处理的基本构件 ，特别是产生了时间和频率的经典概念以及相关的傅里叶变换规则 。OTFS调制方案
经典的通信理论围绕着两个基本的调制方案 ，它们与时间和频率信号的表示法自然相关 。第一种方案是将QAM符号在时间表示的局部脉冲上复用 ，它被称为TDM（时分复用） 。第二种方案将QAM符号在频率表示中的局部脉冲上复用（并使用傅里叶变换进行传输） ，它被称为FDM（频分复用） 。它们在延迟多普勒域是无法被定位的 ，或者说只能在一个维度上被定位 。
在延迟-多普勒表示法中 ，有一种基于对称定位信号的优越调制 ，如图7所示 。这种新的调制方案被称为OTFS ，它代表了正交时间频率和空间 。OTFS调制方案是无限的 ，因为我们可惜选择满足υ
r
=
1
/
τ
r
\upsilon_r=1/ \tau_r
υr=1/τr不同的参数（如图6所示） 。经典的时间和频率调制方案 ，TDM和FDM ，在延迟和多普勒周期分别接近无穷大时 ，作为OTFS族的极限情况出现 。OTFS系列的调制方案在时分复用和频分复用之间平滑地插值 。OTFS的载波波形
我们首先延迟-多普勒平面上选择一个由以下参数指定的二维网格：
Δ
τ
=
τ
r
N
Δ\tau=\frac{\tau_r}{N}
Δτ=NτrΔ
υ
=
υ
r
M
Δ\upsilon=\frac{\upsilon_r}{M}
Δυ=Mυr 这样的网格由沿着时延轴的N点(间距为Δ
τ
Δ\tau
Δτ)和沿着多普勒轴的M点（间距为Δ
υ
Δ\upsilon
Δυ）组成 ，从而在基本矩形域内总共有𝑁𝑀网格点 。接下来我们设定一个局部脉冲w
n
,
m
(
τ
,
υ
)
w_{n,m}(\tau,\upsilon)
wn,m(τ,υ) ，其在(
n
Δ
τ
,
m
Δ
υ
)
(nΔ\tau,mΔ\upsilon)
(nΔτ,mΔυ) ，我们注意到 ，脉冲只在基本域的边界内（由延迟-多普勒周期包围）定位 ，并在整个延迟-多普勒平面上准周期地重复 ，如图 8 所示（n
=
3
,
m
=
2
n=3,m=2
n=3,m=2） 。同时我们假设w
n
,
m
(
τ
,
υ
)
w_{n,m}(\tau,\upsilon)
wn,m(τ,υ)是两个一维脉冲的产物：
w
n
,
m
(
τ
,
υ
)
=
w
τ
(
τ
−
n
τ
)
w
υ
(
υ
−
m
υ
)
w_{n,m}(\tau,\upsilon)=w_\tau(\tau-n\tau)w_\upsilon(\upsilon-m\upsilon)
wn,m(τ,υ)=wτ(τ−nτ)wυ(υ−mυ) 其中第一个因素是沿延迟（时间）定位 ，第二个因素是沿多普勒（频率）定位 。在某种意义上 ，延迟-多普勒二维脉冲是一维TDMA和OFDM脉冲的拼接 。为了描述w
n
,
m
(
τ
,
υ
)
w_{n,m}(\tau,\upsilon)
wn,m(τ,υ)在时间表示中的结构 ，我们需要计算Zak变换：
Z
t
(
w
n
,
m
)
Z_t(w_{n,m})
Zt(wn,m) 产生的波形是一个在时间上和频率上都有移位的脉冲序列 ，时间上的移位等于n
Δ
τ
nΔ\tau
nΔτ ，频率上的移位等于m
Δ
υ
mΔ\upsilon
mΔυ 。在局部 ，每个脉冲的形状和延迟脉冲w
τ
w_\tau
wτ有关 ，整体上 ，总的序列形状和多普勒脉冲w
v
w_v
wv的傅里叶变换有关 。沿着延迟移动网格点会导致序列中的每个脉冲沿时间移动相同的位移 ，类似于TDM 。反过来说 ，沿多普勒移动网格点会使整个序列的频率发生同样的位移 ，类似于OFDM 。换句话说 ，OTFS载波的局部结构类似于TDM的结构 ，而全局结构类似于FDM的结构 。延迟-多普勒信道符号耦合
无线信道是由简单的物理学所支配的 。它是由一组镜面反射器组成的 ，其中一些是静态的 ，一些是移动的 。传输的波形在介质中传播并在每个反射器上反弹 。到达接收器的信号是直接信号和反射回波的叠加 。每个反射回波到达接收器的时间都有延迟（多径效应） ，而且由于反射器和发射器/接收器之间的相对速度 ，可能还会有频率上的偏移（多普勒效应） 。信道物理学通过延迟-多普勒脉冲响应进行数学建模 ，其中每个抽头代表具有特定延迟和多普勒特性的反射器群 ，如图4所示 。我们的目标是描述无线信道和OTFS载波波形之间的信道符号耦合（简称CSC） ，该信道符号由延迟-多普勒表示法中的局部脉冲给出 。我们首先讨论TDM和FDM脉冲的信道符号耦合 。
TDM信道符号耦合
用时间表示一个TDM脉冲 ，在接收器处产生了回波的配置 ，这些回波在特定的时间位移处出现 ，对应于各种反射器所施加的多径延迟 。每个回波的相位和振幅取决于发射脉冲的初始位置 ，并可能在不同的相干时间间隔中发生显著变化–这一现象被称为时间选择性 。有两个机制参与其中 。回波的相位由于多普勒效应而变化 ，回波的振幅由于共享相同延迟但多普勒不同的众多反射体的破坏性叠加而变化 ，而TDM脉冲无法沿着多普勒区分不同的反射体 。
在图9中 ，从左到右计算TDM回波 ，我们看到第一个和第三个回波是由于静态的反射器 ，因此是时间不变的 ，第四个回波是由于移动的反射器 ，因此是时间变化的 ，第二个回波是由于两个反射器的叠加 ，其中一个是移动的 ，因此是衰减的 。 FDM信道符号耦合
反过来说 ，在频率表示上发射一个局部的FDM脉冲 ，在接收机上会产生特定频率位移的回波配置 ，这与各种反射器引起的多普勒频移相对应 。每个回波的相位和振幅取决于发射脉冲的初始位置 ，并可能在不同的相干频率区间中发生显著变化–这种现象被称为频率选择性 。回波的相位由于多径效应而变化 ，回波的振幅由于共享相同多普勒的众多反射体的破坏性叠加而变化 ，但也许在延迟上有所不同 ，这是因为FDM脉冲无法沿延迟分离反射体 。例如 ，在图9中 ，从下往上数收到的FDM回波 ，我们看到第一个和第三个回波是频率变化的 ，第二个回波是由于三个静态反射器的叠加 ，因此是衰减的 。 DD信道符号耦合
在延迟-多普勒表示法中传输一个局部的OTFS脉冲 ，在接收机处产生一个回波的配置 ，这些回波出现在特定的延迟-多普勒位移处 ，这与各种反射器引起的延迟和多普勒位移相对应 ，如图10所示 。与前两种情况相比 ，现在有以下特性:
CSC不变性：延迟多普勒回波的相位和振幅与原始脉冲在基域内的位置无关 ，因为延迟和多普勒周期分别小于通道的相干时间和带宽 。
CSC可分离性：所有的反射都是沿着它们的延迟和多普勒特性相互分离的 ，因此它们的影响不会破坏性地叠加 ，在QAM符号层面上没有能量损失 。
CSC正交性：接收到的回波被限制在发射脉冲周围的一个小的矩形框内 ，其尺寸等于信道的延迟和多普勒扩散 ，这比外部延迟和多普勒周期小得多 。因此 ，当两个发射脉冲在发射器上被几何地分开时 ，它们在接收器上将保持正交 。
另一种表达OTFS信道-符号耦合的方式是延迟多普勒脉冲响应和QAM符号之间的二维卷积 。这可以在图11中看到 ，它显示了许多delta函数（代表QAM符号）与信道的延迟多普勒脉冲响应进行卷积 。
OTFS的多载波解释
OTFS可以被看作是一个由定义在互换时频网格上的二维基函数（或编码）集合组成的时频传播方案 。另一个结果是 ，OTFS可以被架构为任意多载波调制（如OFDM）上的一个简单预处理步骤 。新的定义是基于延迟-多普勒平面上的网格和时间-频率平面上的对等网格之间的傅立叶对偶关系 。
延迟多普勒网格由沿着时延轴的N点(间距为Δ
τ
=
τ
r
/
N
Δ\tau=\tau_r/N
Δτ=τr/N)和沿着多普勒轴的M点（间距为Δ
υ
=
υ
/
M
Δ\upsilon=\upsilon/M
Δυ=υ/M）组成 ，互换的时频网格由沿着频率轴的N点（间距为Δ
f
=
1
/
τ
r
Δf=1/\tau_r
Δf=1/τr）和沿着时间轴的M点（间距为Δ
t
=
1
/
υ
r
Δt=1/\upsilon_r
Δt=1/υr） 。这两个网格在图12中显示 。参数Δ
t
Δt
Δt是多载波符号持续时间 ，参数Δ
f
Δf
Δf是子载波间距 。时频网格可以解释为一连串的𝑀多载波符号 ，每个符号由𝑁音或子载波组成 。我们注意到 ，传输的带宽B
=
N
Δ
f
B=NΔf
B=NΔf与延迟分辨率Δ
τ
Δ\tau
Δτ成反比 ，传输的持续时间T
=
M
Δ
t
T=MΔt
T=MΔt与多普勒分辨率Δ
υ
Δ\upsilon
Δυ成反比 。
两个网格之间的傅里叶关系是通过二维有限傅里叶变换的一个变体实现的 ，称为有限辛傅里叶变换（简称SFFT） 。SFFT将一个𝑁×𝑀延迟-多普勒矩阵(
n
Δ
τ
,
m
Δ
υ
)
(nΔ\tau,mΔ\upsilon)
(nΔτ,mΔυ)发送到一个倒数的𝑀×𝑁时间频率X
(
m
′
Δ
t
，
n
′
Δ
f
)
X(m^{}Δt ，n^{}Δf)
X(m′Δt ，n′Δf)通过以下求和公式实现:
X
(
m
′
Δ
t
，
n
′
Δ
f
)
=
∑
n
=
N
−
1
∑
m
=
M
−
1
e
j
2
π
(
m
′
m
M
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