二进制示例（二进制枚举（三））

时间2025-08-04 20:53:34分类IT科技浏览5168

导读：下面继续通过几个示例体会二进制枚举方法的应用。...

下面继续通过几个示例体会二进制枚举方法的应用。

【例1】建造碉堡

问题描述

设有一个街道笔直的方形城市。该城市的地图是一个有n行和n列的正方形，每行代表一条街道或一堵墙。

碉堡是一座有四个开口的小城堡，可以通过这些开口射击。四个开口分别面向北、东、南和西。每个开口都会有一支机枪射击。

假设一颗子弹威力巨大，它可以穿越任何距离，并在途中摧毁一座碉堡。另一方面，一堵墙是如此坚固，可以阻挡子弹。

你的目标是在该城市中建造尽可能多的碉堡，建造的碉堡要求任意两座碉堡都不会互相摧毁。也就是说没有两个碉堡位于同一水平行或垂直列上，除非至少有一堵墙将它们隔开。

例如，图1（a）是没有建造碉堡的初始初始状态（图中正方形黑块代表墙）；图1（b）和（c）是建造可行方案（图中黑色实心圆代表建造的碉堡），图1（d）和（e）是建造不可行的方案。对图1（a）所示的城市状态，最多可以建造5座碉堡。图1（b）给出了一种可行的建造方案，当然还有其他几种建造方案。

你的任务是编写一个程序，在给定地图描述的情况下，计算可以在城市中满足要求建造的碉堡的最大数量。

输入

输入包括多组测试用例。每组测试用例以包含正整数n的行开始，n是城市的大小，n最多为4。接下来的n行字符串分别描述地图的一行，其中字符“. ”表示开放空间，大写字母“X ”表示墙。输入字符串中没有空格。n=0 ，表示输入结束。

输出

对于每个测试用例，输出一行，其中包含可以在城市中满足要求建造的碉堡的最大数量。

输入样例

.X..

....

XX..

....

.X.

X.X

.X.

....

输出样例

（1）编程思路。

由于题目中n不大于4 ，地图中最多16个位置。因此，可以采用二进制枚举的方法，枚举在这n*n个位置中任选若干个位置建造碉堡的各种组合情况，然后对每个组合情况，逐个判断该组合情况中所建造的每个碉堡的可行性。

（2）源程序。

将上面的源程序提交给HDU题库HDU 1045 Fire Net （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1045），可以Accepted 。

【例2】子图像

问题描述

如果可以从图像B中删除一些行和一些列的像素，生成的图像与图像A相同，则称图像A是图像B的子图像。图2所示的图像A是图像B的子图像，因为从图像B中移除中间一行和中间一列的像素后，所产生的图像与A相同。

给定两个黑白图像A和B，确定A是否是B的子图像。

输入

输入第一行包含两个整数r和c（1≤ r 、c≤ 20），表示图像A的行数和列数。以下r行，每行包含一个长度为c的字符串，给出一个r×c的0-1矩阵，表示图像A的像素。下一行包含两个整数R和C（r≤ R≤ 20 ，c≤ C≤ 20），表示图像B的行数和列数。以下R行，每行包含一个长度为C的字符串，给出一个代表图像B像素的R×C的0-1矩阵。0表示白色像素；1表示黑色像素。

输出

如果图像A是图像B的子图像，则输出“Yes ”；否则，输出“No ” 。

输入样例

2 2

3 3

101

000

100

输出样例

Yes

（1）编程思路。

可以通过在图像B对应的0-1矩阵中寻找是否存在图像A所对应的0-1矩阵来判断图像A是否是图像B的子图像。

具体做法是：用二进制枚举矩阵B中R行的组合，若枚举的二进制数中1的个数正好为矩阵a的行数r ，则表示可以在矩阵B的R行中选出矩阵A的r行。这种情况下，再用循环穷举的方法，看矩阵B的C列中，是否可以选出c列，矩阵B选中的r行在这c列上的值与矩阵A的值一致。

（2）源程序。

#include <stdio.h> int main() { char a[21][21],b[21][21]; int na,ma,nb,mb; scanf("%d%d",&na,&ma); int i,j,k; for (i=0; i<na; i++) scanf("%s",a[i]); scanf("%d%d",&nb,&mb); for (i=0; i<nb; i++) scanf("%s",b[i]); int flag=0,h[21]; for (k=0; k<(1<<nb); k++) // 二进制枚举B矩阵的行组合 { int cnt=0; for (j =0; j<nb; j++) // 遍历二进制的每一位 { if (k & (1 << j)) // 判断二进制第j位是否为1 ，若为1 ，表示行选中 h[cnt++]=j; // 如果第j个元素选中，则记录选中的行号 } if (cnt==na) // 矩阵B选中的行数正好是矩阵A的行数na { int st=0; // 矩阵B中可以挑选的起始列号 while (st<=mb-ma) { int cola=0,ff=1; for (i=st; i<mb; i++) // 从矩阵B的起始列到最后列中看能否找到矩阵A的所有列 { ff=1; for (j=0; j<na; j++) // 矩阵A中各行的当前列在矩阵B选中行的某列是否一致 if(a[j][cola]!=b[h[j]][i]) { ff=0; break; } if (ff) cola++; if (cola==ma) break; // A矩阵的ma列全部可在B矩阵中找到 } if (cola==ma) // A矩阵的ma列全部可在B矩阵中找到 { flag=1; break; } st++; // 当前起始列不恰当，将下一列作为起始列，重新找 } if (flag==1) break; // 已找到答案，退出循环 } } if (flag) printf("Yes\n"); else printf("No\n"); return 0; }

将上面的源程序提交给北大POJ题库POJ 3600 Subimage Recognition （http://poj.org/problem?id=3600），可以Accepted 。

【例3】查找0-1矩阵

问题描述

给定一个M×N的0-1矩阵，你能找到一些让每个列包含且仅包含一个1的行吗。

输入

输入包括多组测试用例。每组测试用例的第一行输入为M ，N（M≤ 16 ，N≤ 300) ，接下来的M行每行包含N个用空格分隔的整数0或1 。

输出

对于每个测试用例，如果你能找到它，输出“Yes, I found it ” ，否则输出“It is impossible ” 。

输入样例

3 3

0 1 0

0 0 1

1 0 0

4 4

0 0 0 1

1 0 0 0

1 1 0 1

0 1 0 0

输出样例

Yes, I found it

It is impossible

（1）编程思路。

本题同样采用二进制枚举各行的组合，再用位运算来判断所选的那些行是否满足每列只有一个1 。

由于题目中给出最多16行，因此可以用一个int型整数（32位>16）的每个二进制位来表示每列状态。以输入样例中的4×4矩阵来说明。第0列4行上的数字分别为0 、1 、1 、0 ，对应二进制数为110 ，将其对应的十进制整数6保存到数组元素col[0]中，第1列4行上的数字分别为0 、0 、1 、1 ，对应二进制数为1100 ，将其对应的十进制整数12保存到数组元素col[1]中；同理，col[2]=0 ，col[3]=5 。

同样，对应输入样例中的3×3矩阵，则有 col[0]=4 ，col[1]=1 ，col[2]=2 。

当二进制枚举到状态i时，要判断所选行中，第j列是否有且只有1个1 。可以令t = col[j]&i ，这样就把枚举的行里面的1取了出来。因为在枚举的二进制状态i中，选中的行相应位为1，未选中的行相应位为0 ，而 0 & 1=0 ，这样某列在未选中行上的1均会变成0 。

得到t值后，如果t=0 ，说明枚举的这些行对应的某列里面一个1都不含，肯定不满足要求。如果 t != 0 ，再看 t&（t-1)的值，若该值等于0 ，表示 t 只有一个1 ，也就是在所选行中，第j列有且只有1个1；否则，t中不止1个1 ，不满足要求。

（2）源程序。

#include <stdio.h> #include <string.h> int main() { int m,n; while (scanf("%d%d", &m, &n)!=EOF){ int col[301]; int i,j,x,flag = 0; memset(col, 0, sizeof(col)); for (i=0; i<m; i ++){ // 输入时预处理，将每列中各行0 、1组成的二进制数转换为十进制数保存到数组col中 for (j=0; j<n; j++){ scanf("%d",&x); if (x==1) col[j] += (1 << i); if (i==m-1 && col[j]==0) flag = 1; // 若每列1的个数为0 ，显然不可能 } } if (flag){ printf("It is impossible\n"); continue; } for (i=1; i<(1<<m); i++){ // 用二进制枚举，对各行的组合进行选择 for (j = 0; j < n; j ++){ int t = col[j] & i; if (t==0 || (t & (t-1))) { break; } } if (j==n) {flag = 1; break; } } if (flag == 0) printf("It is impossible\n"); else printf("Yes, I found it\n"); } return 0; }

将上面的源程序提交给北大POJ题库POJ 3740 Easy Finding（http://poj.org/problem?id=3740），可以Accepted 。

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