前言

约数和质数一样在蓝桥杯考试中是在数论中考察频率较高的一种           ，在省赛考察的时候往往就是模板题 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
，难度大一点会结合其他知识点考察









，但是仍然会用到模板
  
  
  
  
  
 ，这里有三大模板 
  
  
  
  
 ，第一个是试除法求约数个数 


 


 


 


 


 
，第二个是求约数个数
 
 
 
 
 
，第三个是求约数的和(来自y总的三个模型）

一  
  
  
  
  
 、约数是什么

约数(约数的含义是什么) 1 
  
  
  
  
  、意思 1.大约的数目  
  
  
  
  
 。 2.一个数能够整除另一数  
   
   
   
   
  ，这个数就是另一数的约数 
  
  
  
  
  。如2 

 

 

 

 

 
，3

 

 

 

 

 
，4           ，6都能整除12 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
，因此2










，3                ，4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，6都是12的约数


 


 


 


 


 

。也叫因数 
 
 
 
 
。最后俩个都插到这个动态数组中















，但是注意

二


 


 


 


 


 

、三大模板

1 
 
 
 
 
、试除法求约数个数

算法思想：算x的约数           ，对 小于等于x的根号数求约数 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
，当你求得一个约数









，对应的也有另一个数是约数
  
  
  
  
  
 ，就比如算12的约数 
  
  
  
  
 ，当算出3是约数,可得 4（12/ 3）也是12的约数  
   
   
   
   
   。但是注意如果16的约数4对应的约数还是4不能在被放进去 


 


 


 


 


 
，所以要加一个特判

代码

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; vector<int> get_divisors(int n) { vector <int> res; for(int i = 1;i <= n / i; i ++) { if(n % i == 0){ res.push_back(i); if(i != n / i) res.push_back(n/i); } } sort(res.begin(),res.end()); return res; } int main() { int n; cin >> n; while(n --) { int x; cin >> x; vector <int> res; res = get_divisors(x); for(auto c : res) { cout << c << " "; } cout << endl; } }

2  
   
   
   
   
   、求约数个数

如果有一个数n
 
 
 
 
 
，且 n = p1^c1 * p2 ^ c2 * p3 ^c3 + ...... + pn^cn;

那么它的约数个数和就等于 (c1 + 1 ) * ( c2 + 1 ) * (c3 + 1 ) ....(cn + 1);

p1^c1,这样的数就是上文中所介绍的质因数  
   
   
   
   
  ，通过求质因数 

 

 

 

 

 
，在求c1 + 1的值即可

 

 

 

 

 
。

题目·

 代码

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <unordered_map> const int mod = 1e9 + 7; typedef long long LL; using namespace std; int main() { unordered_map <int,int> primes; int n; cin >> n; while (n -- ) { int x; cin >> x; for(int i = 2;i <= x / i;i ++) { while(x % i == 0) { x /= i; primes[i] ++; } } if(x > 1) primes[x] ++; } LL res = 1; for(auto c: primes) { res = res * (c.second + 1) % mod; } cout << res << endl; }

3

 

 

 

 

 
、求约数之和

如果有一个数n

 

 

 

 

 
，且 n = p1^c1 * p2 ^ c2 * p3 ^c3 + ...... + pn^cn;

那么它的约数之和为（p1^0  + p2^1 + p3 ^3 + .. +p^c1） * ... *( pn^c1 + pn^c2 +pn^c3  + ...+ pn^cn)

求解方法和上面一样           ，先是解出质因数 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
，然后求出约数和的过程很巧妙










，看下面代码

题目

题解

#include <bits/stdc++.h> typedef long long LL; const int mod = 1e9 + 7; using namespace std; int main() { unordered_map<int,int> primes; //一个值存的是这个质因数                ，第二个存的是指数 int n; cin >>n; while (n -- ) { int x; cin >> x; for(int i = 2;i <= x / i;i ++) { while(x % i == 0) { x /= i; primes[i] ++ ; // 指数加一 } } if(x > 1) primes[x] ++; } LL res = 1; for(auto c : primes) { int a = c.first,b = c.second; LL t = 1; while(b--) t = (t * a + 1) % mod; res = res * t % mod; } cout << res << endl; }

最后一步为什么会用这个t  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，假设开始时为 

t : 1   

t :p+ 1 （t = 1 *p + 1）

t : p^2 + p  +1 ( t = (p+1) * p +1 )\

....

最后t : t=p^b+p^b−1+…+1

四
 

 

 

 

 

、求最大公约数

求最大公约数















，要用到欧几里得算法           ，就是 gcd (a,b) = gcd(b,a%b） 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
，注意b为0的时候按照欧几里得算法









，b等于0
  
  
  
  
  
 ，取a；

题目

 代码

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b):a ; //b为0的时候按照欧几里得算法 
  
  
  
  
 ，b等于0 


 


 


 


 


 
，取a } int main() { int n; cin >> n; while(n --) { int a,b; cin >> a >> b; int t =gcd(a,b); cout << t <<endl; } }

三           、真题演练

2020填空题

题目

题目描述

本题为填空题
 
 
 
 
 
，只需要算出结果后  
   
   
   
   
  ，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可
 

 

 

 

 

。

12000001200000 有多少个约数（只计算正约数）           。

运行限制

最大运行时间：1s 最大运行内存: 128M

代码

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <unordered_map> const int mod = 1e9 + 7; typedef long long LL; using namespace std; int main() { unordered_map <int,int> primes; int x; x = 1200000; for(int i = 2;i <= x / i;i ++) { while(x % i == 0) { x /= i; primes[i] ++; } } if(x > 1) primes[x] ++; LL res = 1; for(auto c: primes) { res = res * (c.second + 1) % mod; } cout << res << endl; }