1 机器人动力学建模方法

多体系统动力学形成了多种建模和分析的方法
    
    
    
   ，早期的动力学研究主要包括牛顿-欧拉 (Newton-Euler) 矢量力学方法和基于拉格朗日 (Lagrange) 方程的分析力学方法
    
    
    
   。这种方法对于解决自由度较少的简单刚体系统     


     


     


     

，其方程数目比较少 




 




 




 




，计算量也比较小

   

   

   

  ，比较容易     


     


     


     

。但是     

     

     

     
，对于复杂的刚体系统  




  




  




  




，随着自由度的增加


  


  


  


 ，方程数目会急剧增加     
     
     
     ，计算量增大 




 




 




 




。

随着时代的发展   




   




   




   




，计算机技术得到了突飞猛进的进步



 



 



 



，虽然可以利用计算机编程求解出动力学方程组                    ，但是    




    




    




    



，对于求解下一时刻的关节角速度需要合适的数值积分方法



















，而且需要编写程序

   

   

   

  。虽然这种方法可以求解出方程的解                   ，但是     



     



     



     


，由于这种编程方法不具有通用性



















，针对每个具体问题
    
    
    
   ，都需要编程求解     


     


     


     

，效率比较低     

     

     

     
。因此 




 




 




 




，如果能在动力学建模的同时就考虑其计算问题

   

   

   

  ，并且在建模过程中考虑其建模和求解的通用性     

     

     

     
，就能较好的解决此问题  




  




  




  




。其中  




  




  




  




，比较著名的方法有 Kane 方法    
    
    
    
、变分方法 


     


     


     


   、 Roberson-Wittenburg 方法

 




 




 




 

、和旋量方法等多体动力学研究方法


  


  


  


 。

1.1 牛顿-欧拉法

牛顿-欧拉方法是最开始使用的动力学建模分析方法


  


  


  


 ，由于牛顿方程描述了平移刚体所受的外力   

   

   

   

、质量和质心加速度之间的关系     
     
     
     ，而欧拉方程描述了旋转刚体所受外力矩  

     

     

     

  、角加速度


  




  




  




  
、角速度和惯性张量之间的关系   




   




   




   




，因此可以使用牛顿-欧拉方程描述刚体的力  


  


  


  


、惯量和加速度之间的关系



 



 



 



，建立刚体的动力学方程     
     
     
     。

牛顿方程 (刚体平移): 外力   
     
     
     
 、质量



   




   




   




   、质心加速度

欧拉方程 (刚体旋转): 力矩 



 



 



 



、角加速度                   、角速度




    




    




    




    、惯性张量

此方法分析了系统中每个刚体的受力情况                    ，因此物理意义明确    




    




    




    



，表达了系统完整的受力关系   




   




   




   




。对于刚体数目较少时



















，计算量较小                   ，但是随着刚体数目的增多     



     



     



     


，方程数目会增加



















，导致计算量较大
    
    
    
   ，从而使得计算效率变低



 



 



 



。

关于牛顿-欧拉法的总结具体如下：

牛顿-欧拉方程中牛顿方程主要用于解决刚体的平动问题     


     


     


     

，欧拉方程主要解决刚体的旋转问题； 任何刚体的任何运动均可以用平动以及转动合成 




 




 




 




，力的平移会产生转矩

   

   

   

  ，力矩的平移可以直接进行； 刚体的受力分析可以集中到一个点； 多体系统的牛顿-欧拉方程建模只是动力学的建模算法之一； 目前建立的牛顿-欧拉方程仅仅是多刚体系统在自由运动空间的动力学方程     

     

     

     
，且可以在静力分析时候引入外部作用力和力矩；但是多刚体的接触情况需要单独进行  




  




  




  




，因为多刚体的接触是一个很复杂的情况


  


  


  


 ，涉及情况较多； 多刚体动力学分析相对单刚体动力学需要引入多刚体的运动学分析     
     
     
     ，运动学分析需要求解刚体的线速度以及角速度   




   




   




   




，进而求解出刚体的线加速度以及角加速度

1.2 拉格朗日法

拉格朗日方程是另一种经典的动力学建模方法



 



 



 



，牛顿-欧拉方程可以被认为是一种解决动力学问题的力平衡方法                    ，而拉格朗日方程则是采用另外一种思路    




    




    




    



，它以系统的能量为基础建立起动力学模型                    。

在建模过程中不同于牛顿-欧拉方法



















，它可以避免内部刚体之间出现的作用力                   ，简化了建模过程    




    




    




    



。缺点是其物理意义不明确     



     



     



     


，而且对于复杂系统



















，拉格朗日函数的微分运算将变得十分繁琐



















。

2 机器人动力学建模方法分类

机器人动力学建模方法分类

力学量和运动量之间的关系

Ref.

机器人动力学建模：机械臂动力学 【Dynamics】机械臂动力学建模(牛顿-欧拉法) 机器人动力学：机械臂正向动力学与逆向动力学 基于车辆运动学模型的LQR横向控制（一）