参考资料

车辆数学模型 车辆模型-动力学模型(Dynamics Model)

1. 基本模型建立

我们作如下假设：

车辆所受的空气的力只会对车身坐标系x轴方向上的运动有影响  
  
  
  
  
  
  
 ，y轴方向和沿着z轴的旋转不会受到空气力的影响； 车辆运行在二维平面中 
  
  
  
  
  
  
 ，也就是z轴无速度              。 车辆轮胎力运行在线性区间 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  。

在运动学模型中


 


 


 


 


 


 


 
，我们假设了单车模型中前后轮的速度矢量与轮子方向一致













。当车辆速度很高时 
 
 
 
 
 
 
，单车模型中前后轮的速度矢量不再与轮子方向一致
  
  
  
  
  
  
  
。此时运动学模型就不能准确地描述车辆的运动状态  
   
   
   
   
   
   
  ，这就需要使用动力学模型对车辆进行建模 
  
  
  
  
  
  
 。

车辆单车模型中需要考虑两个维度的信息

 

 

 

 

 

 

 
，这两个维度分别指代表车辆横向位置信息的

y

y

y和表示车辆偏航角信息的

ψ

\psi

ψ 


 


 


 


 


 


 


 。他们可以大致分为两类： 纵向力(Longitudinal force) 和 横向力（Lateral force）, 纵向力就是使车辆前后移动的力量
 

 

 

 

 

 

 
，而横向力则促使车辆在横向移动               ，在力的相互作用过程中
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
，轮胎起着决定性的作用（根据一定的物理常识













，轮胎是车辆运动的一个重要的力的来源）
 
 
 
 
 
 
 
。

之所以叫二自由度的车辆动力学模型                      ，就是因为二自由度指的是横向上y轴的运动和绕z轴的转动
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，忽略了纵向x轴的运动  
   
   
   
   
   
   
 。

建立如下坐标系




















，X,Y表示全局坐标系               ，x,y则表示车身坐标系
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
，x轴方向沿车辆中轴方向向前













，y轴方向朝右  
  
  
  
  
  
  
 ，其车辆中心在质心位置 

 

 

 

 

 

 

 。车辆的状态信息表示为

(

x

,

y

,

ψ

,

v

)

(x,y,\psi,v)

(x,y,ψ,v) 
  
  
  
  
  
  
 ，即

x

,

y

x,y

x,y方向上的位置


 


 


 


 


 


 


 
，偏航角和速度

 

 

 

 

 

 

 
。

平动

首先假设车辆为一个质点 
 
 
 
 
 
 
，对该质点进行受力分析  
   
   
   
   
   
   
  ，并根据牛顿第二定律得

m

a

y

=

F

y

f

+

F

y

r

m

a

x

=

F

x

f

+

F

x

r

−

F

a

e

r

o

(1)

\tag{1} m a_{y}=F_{y f}+F_{y r}\\ ma_x=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero}

may​=Fyf​+Fyr​max​=Fxf​+Fxr​−Faero​(1) 其中

 

 

 

 

 

 

 
，

a

y

a_{y}

ay​ 为车辆重心处

y

y

y 轴方向的惯性加速度
 

 

 

 

 

 

 
，满足

a

y

=

d

2

y

d

t

2

a_y=\frac{d^2y}{dt^2}

ay​=dt2d2y​

F

y

f

F_{y f}

Fyf​ 和

F

y

r

F_{y r}

Fyr​ ​分别表示车前轮和后轮所受到的力在y轴方向上的分量              。

F

x

f

F_{x f}

Fxf​ 和

F

x

r

F_{x r}

Fxr​分别表示车前轮和后轮所受到的力在x轴方向上的分量 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 。

F

a

e

r

o

F_{aero}

Faero​​表示车在x轴方向受到的空气阻力














。

平动过程中               ，有两 种力共同作用产生加速度

a

y

a_{y}

ay​ : 车辆延

y

y

y 轴产生的惯性加速度

y

¨

\ddot{y}

y¨​ 和车辆绕旋转中心

O

O

O 旋转产生的向心加速度

a

c

=

v

x

2

R

=

v

x

ψ

˙

∘

a_{c}=\frac{{v_x}^2}{R}=v_{x} \dot{\psi}_{\circ}

ac​=Rvx​2​=vx​ψ˙​∘​

a

y

=

y

¨

+

v

x

ψ

˙

(2)

\tag{2} a_{y}=\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}

ay​=y¨​+vx​ψ˙​(2)

将公式(2)带入公式(1)得

m

(

y

¨

+

v

x

ψ

˙

)

=

F

y

f

+

F

y

r

(3)

\tag{3} m\left(\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}\right)=F_{y f}+F_{y r}

m(y¨​+vx​ψ˙​)=Fyf​+Fyr​(3)

同理
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
，沿着x轴有

a

x

=

v

˙

x

−

v

y

ψ

˙

m

(

v

˙

x

−

v

y

ψ

˙

)

=

F

x

f

+

F

x

r

−

F

a

e

r

o

(3-2)

\tag{3-2} a_x=\dot{v}_x-v_y\dot{\psi}\\ m(\dot{v}_x-v_y\dot{\psi})=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero}

ax​=v˙x​−vy​ψ˙​m(v˙x​−vy​ψ˙​)=Fxf​+Fxr​−Faero​(3-2)

其中













，

v

x

˙

=

x

¨

v

y

˙

=

y

¨

\dot{v_x}=\ddot{x}\\ \dot{v_y}=\ddot{y}

vx​˙​=x¨vy​˙​=y¨​

转动

假设车辆为刚体                      ，刚体绕重心转动
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，该运动过程使用力矩和转动惯量

进行描述                     。 车辆绕Z轴旋转产生的力矩平衡




















，对应的偏航动力学方程为

I

z

ψ

¨

=

l

f

F

y

f

−

l

r

F

y

r

(4)

\tag{4} I_{z} \ddot{\psi}=l_{f} F_{y f}-l_{r} F_{y r}

Iz​ψ¨​=lf​Fyf​−lr​Fyr​(4) 其中               ，

l

f

l_{f}

lf​ 和

l

r

l_{r}

lr​ 代表前后轮胎到重心的距离 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 。

2. 横向（y方向）受力计算

车辆轮胎在y轴方向受到的力

F

y

f

F_{yf}

Fyf​​  
  
  
  
  
  
  
 、

F

y

r

F_{yr}

Fyr​​实验结果表明
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
，其大小正比于轮胎的侧滑角





















。其侧滑角如下图所示：

根据上图













，前轮侧滑角为

α

f

=

δ

−

θ

v

f

(5)

\tag{5} \alpha_{f}=\delta-\theta_{v f}

αf​=δ−θvf​(5) 其中  
  
  
  
  
  
  
 ，

θ

v

f

\theta_{v f}

θvf​ 代表速度矢量与车辆纵轴的夹角 
  
  
  
  
  
  
 ，

δ

\delta

δ 代表前轮转向角              。

同理


 


 


 


 


 


 


 
，由于后轮转向角

δ

\delta

δ

为 0  
 
 
 
 
 
 
，故后轮侧滑角为

α

r

=

−

θ

v

r

(6)

\tag{6} \alpha_{r}=-\theta_{vr}

αr​=−θvr​(6)

车辆前轮的横向力可以表示为

F

y

f

=

2

C

α

f

(

δ

−

θ

v

f

)

(7)

\tag{7} F_{y f}=2 C_{\alpha f}\left(\delta-\theta_{v f}\right)

Fyf​=2Cαf​(δ−θvf​)(7) 其中  
   
   
   
   
   
   
  ，比例常数

C

α

f

C_{\alpha f}

Cαf​ 代表每个前轮的转弯刚度(cornering stiffness) 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  。

同理后轮的横向力可以写为

F

y

r

=

2

C

α

r

(

−

θ

v

r

)

(8)

\tag{8} F_{y r}=2 C_{\alpha r}\left(-\theta_{v r}\right)

Fyr​=2Cαr​(−θvr​)(8) 其中

 

 

 

 

 

 

 
，比例常数

C

α

r

C_{\alpha r}

Cαr​ 代表每个后轮的转弯刚度(cornering stiffness)













。

3. 横向动力学模型推导

点 C 代表车辆的重心
 

 

 

 

 

 

 
， A 点和 B点到重心的距离分别用

l

f

l_f

lf​​和

l

r

l_r

lr​​​表示               ，轴距表示为

L

=

l

f

+

l

r

L = l_f + l_r

L=lf​+lr​​
  
  
  
  
  
  
  
。

车辆平动产生的速度分量

v

x

v_{x}

vx​ 和

v

y

v_{y}

vy​ 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
，以及绕点

C

C

C 转动产生的线速度

l

f

ψ

˙

l_{f} \dot{\psi}

lf​ψ˙​ 和

l

r

ψ

˙

l_{r} \dot{\psi}

lr​ψ˙​ (根据角速度与线速度的关系

ω

=

v

R

\omega=\frac{v}{R}

ω=Rv​

得到)组成 
  
  
  
  
  
  
 。根据上图得

tan

⁡

(

θ

v

f

)

=

v

y

+

l

f

ψ

˙

v

x

(9)

\tag{9} \tan \left(\theta_{v f}\right)=\frac{v_{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}

tan(θvf​)=vx​vy​+lf​ψ˙​​(9)

tan

⁡

(

θ

v

r

)

=

v

y

−

l

r

ψ

˙

v

x

(10)

\tag{10} \tan \left(\theta_{v r}\right)=\frac{v_{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}

tan(θvr​)=vx​vy​−lr​ψ˙​​(10)

由于通常情况下速度矢量的夹角很小













，可以使用小角度近似原理

tan

⁡

(

δ

)

≈

δ

\tan \left(\delta\right) \approx \delta

tan(δ)≈δ

得

θ

v

f

=

y

˙

+

l

f

ψ

˙

v

x

(11)

\tag{11} \theta_{v f}=\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}

θvf​=vx​y˙​+lf​ψ˙​​(11)

θ

v

r

=

y

˙

−

l

r

ψ

˙

v

x

(12)

\tag{12} \theta_{v r}=\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}

θvr​=vx​y˙​−lr​ψ˙​​(12)

将等式(7) 
  
  
  
  
  
  
 、(8)


 


 


 


 


 


 


 
、(11)和(12)代入等式(3)中得

m

(

y

¨

+

v

x

ψ

˙

)

=

2

C

α

f

(

δ

−

y

˙

+

l

f

ψ

˙

v

x

)

+

2

C

α

r

(

−

y

˙

−

l

r

ψ

˙

v

x

)

(13)

\tag{13} m\left(\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}\right)=2 C_{\alpha f}\left(\delta-\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)+2 C_{\alpha r}\left(-\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)

m(y¨​+vx​ψ˙​)=2Cαf​(δ−vx​y˙​+lf​ψ˙​​)+2Cαr​(−vx​y˙​−lr​ψ˙​​)(13) 等式(13)左右两边同时除以

m