时间序列的时序图怎么看（【时序列】时序列数据如何一步步分解成趋势（trend）季节性（seasonality）和误差（residual）- 详细理解python sm.tsa.seasonal_decompose）

【时序列】时序列数据如何一步步分解成趋势（trend）季节性（seasonality）和误差（residual）- 理解python sm.tsa.seasonal_decompose

在做时序列分析的时候    
    
    
    
，好多教程都告诉你要把时序列分解成趋势  


     


     


     


，季节性


 




 




 




 ，残差   

   

   

   
，然后画图看一下有没有趋势变化   

     

     

     

，有没有季节性    
    
    
    
。像这样：

import statsmodels.api as sm decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(train[Count] ,model=addictive, period=7) decomposition.plot()

相信大家都很熟悉python的这个包和命令



  




  




  




 ，但是具体是如何分解的却不是特别清楚  


     


     


     


。今天就来详细理解一下一个时序列是如何一步一步被分解的


 




 




 




 。

举个例子理解概念

首先我们默认每个时序列在某个时间点i的数值  


  


  


  
，都可以分解成三部分    
     
     
     
，分别是趋势




   




   




   




 ，季节性和残差 



 



 



 
，以此来解释时序列的变化   

   

   

   
。

比如                    ，某列车2021年2月的总乘客人数1000人




    




    




    




 ，这1000人如何理解
















，为什么是1000人？

2018年2月还是100人                    ，2021年1月还是300人 



     



     



     



 ，为啥到2021年2月就1000人了？

首先
















，可能因为列车开通后乘车人数有逐年上升的趋势    
    
    
    
，每年增加100人  


     


     


     


，2018年到2021年的3年之间增加了300人


 




 




 




 ，只考虑趋势原因的话2021年2月应该是：100+300=400人

然后   

   

   

   
，和2021年1月分相比   

     

     

     

，2021年2月是春节



  




  




  




 ，每年的2月乘客都1月多200人  


  


  


  
，只考虑春节这个季节性原因的话2021年2月应该是：300+200=500人

把季节性和趋势原因都考虑进去应该是：400+500=900人    
     
     
     
，但2021年2月是1000人




   




   




   




 ，剩下的100人如何解释呢？暂时解释不了 



 



 



 
， 我们就把它作为残差（误差）

理解了例子公式就简单了

就是下面这个公式：

y_i = t_i + s_i + n_i

y_i ：在i时间点的数值（乘客人数                    ，销量等等）

t_i ：在i时间点的趋势

s_i ：在i时间点的季节性

n_i：在i时间点的残差

当然在上面这个例子里




    




    




    




 ，我们假设这个y（乘客人数）
















，是线性增长的                    ，所以我们用加法把每个要素加起来 



     



     



     



 ，来解释y的变化   

     

     

     

。

如果y不是线性增长
















，而是比如指数增长的    
    
    
    
，那就不能用加法  


     


     


     


，需要用乘法


 




 




 




 ，即：

y_i = t_i * s_i * n_i

decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(train[‘Count’], model=‘addictive’, period=7)

那么   

   

   

   
，上面这句代码里的model就应该从‘addictive’   

     

     

     

， 改成‘multiplicative’

一步步分解趋势



  




  




  




 ，季节性  


  


  


  
，残差

所以趋势    
     
     
     
，季节性




   




   




   




 ，残差都是咋分出来的呢



  




  




  




 。计算方法貌似有很多 



 



 



 
，我们理解一个最基本的  


  


  


  
。

五步走：

1: 确定季节性变化的期间

2: 分离 趋势

3: 分离 季节性+残差

4: 分离 季节性

5: 分离 残差

1: 确定季节变化的期间

这个期间就是decompose命令里面的period    
     
     
     
。看一下你的数据图




   




   




   




 。我手头的数据是日次的                    ，看起来以周为单位有一个先升高再下降的循环 



 



 



 
。所以我把period定为7（7天的意思）

2: 分离 趋势

7这个期间定好之后




    




    




    




 ，我们用移动平均的方法分离趋势                    。为了方便解释
















，我都用excel做示例




    




    




    




 。

计算的时候                    ，以7的中心为开始计算移动平均
















。所以时序列最开始的3个三个数和最后的3个数是没有值的                    。

个人理解 



     



     



     



 ，如果季节性以周次出现
















，那么以7为单位计算的时候    
    
    
    
，比如每周六日数值都很高  


     


     


     


，这个因素就每个cycle（周）里面都有


 




 




 




 ，平均下来的数值   

   

   

   
，就可以看作是摒弃了季节性的趋势的影响 



     



     



     



 。

可以看到计算结果和python的decompose是一样的

3: 分离 季节性+残差

分离好趋势之后   

     

     

     

，如果你选的是model=‘addictive’



  




  




  




 ，根据公式y_i = t_i + s_i + n_i  


  


  


  
， 我们只要用数值减去趋势那部分    
     
     
     
，就能得到季节性+残差的部分了
















。如果是multiplicative




   




   




   




 ，那就是除以趋势    
    
    
    
。

结果如下 



 



 



 
，季节性+残差

4                    ，5： 分离 季节性 残差

接下来就从季节性+残差里面把季节性分出来  


     


     


     


。比如




    




    




    




 ，如果时序列是周次季节性
















，那么周一的数值                    ，就减去所有周一的数值的平均 



     



     



     



 ，周二的数值就减去所有周二的平均
















，以此类推    
    
    
    
，剩下的就是残差了


 




 




 




 。当然这只举了一个分离季节性的超简单逻辑   

   

   

   
。python里面decompose貌似用了更复杂的计算方法来计算季节性  


     


     


     


，由于篇幅过大暂且省略   

     

     

     

。

验证以下python的结果

看一下用python的seasonal_decompose算完


 




 




 




 ，季节性   

   

   

   
，趋势   

     

     

     

，残差



  




  




  




 ，加起来是不是真的等于原来的数值



  




  




  




 。

代码如下 decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(train[Count],model=addictive, period=7) #Additive trend = decomposition.trend seasonal = decomposition.seasonal residual = decomposition.resid train[trend]=trend train[seasonal]= seasonal train[residual]= residual train[add] = train[trend]+train[seasonal+*train[residual]

结果如下  


  


  


  
，Count果然和三个加起来的数值是一样的  


  


  


  
。

前三行的trend是没有值的    
     
     
     
。这是因为以7为中心算移动平均的时候    
     
     
     
，中心点位置是第四行




   




   




   




 ，前3行没有值也就可以理解了




   




   




   




 。

就写到这里 



 



 



 
。欢迎大家指导讨论！

【参考文献】

https://timeseriesreasoning.com/contents/time-series-decomposition/