小波分析是时域分析吗（现代信号处理——时频分析与时频分布（小波变换））

一
    
    
    
、小波变换概述

1     


     


     


    、小波的特点和发展

小波变换是分析原始信号各种变化的特性
    
    
    
，进一步用于数据压缩 




 




 




 


、噪声去除

   

   

   

、特征选择等
    
    
    
。

例如歌唱信号：是高音还是低音     


     


     


    ，发声时间长短     

     

     

   、起伏  




  




  




  

、旋律等     


     


     


    。从平稳的波形发现突变的尖峰 




 




 




 


。

小波变换的实质是利用多种小波基函数对原始信号进行分解

   

   

   

。

小波分析发展历史

1910年Haar提出最简单的小波

1980年Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式 




 




 




 


，用于地质勘探     

     

     

   。

1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基    
    
    
    ”

   

   

   

，此后形成小波研究的高潮  




  




  




  

。

1988年Mallat提出的多分辨度分析理论（MRA）     

     

     

   ，统一了语音识别中的镜向滤波  




  




  




  

，子带编码


  


  


  


，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域


  


  


  


。

小波变换的特点

小波变换     
     
     
  ，既具有频率分析的性质   




   




   




   
，又能表示发生的时间     
     
     
  。有利于分析确定时间发生的现象   




   




   




   
。

小波变换的多分辨度的变换



 



 



 



，有利于各分辨度不同特征的提取(图象压缩                ，边缘抽取    




    




    




    ，噪声过滤等)

小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级



 



 



 



。信号长度为M时



















，Fourier变换（左）和小波变换(右）计算复杂性分别如下公式：

运用小波基               ，可以提取信号中的“指定时间 


     


     


     


”和“指定频率

 




 




 




”的变化                。

时间：提取信号中“指定时间   

   

   

   ”（时间A或时间B)的变化    




    




    




    。顾名思义     



     



     



     ，小波在某时间发生的小的波动



















。

频率：提取信号中时间A的比较慢速变化


















，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化
    
    
    
，称较高频率成分               。 

 二


  


  


  


、连续小波变换

小波(wavelet)的物理意义就是“小区域的波  

     

     

     

”     


     


     


    ，即时域上有限支撑且振荡的一类函数     



     



     



     。

 ​​​​​​

小波变换的特点

1     
     
     
  、从物理上看 




 




 




 


，信号的小波变换就是信号通过一组品质因数恒定带通滤波器的过程


















。值得指出的是

   

   

   

，品质因数恒定是小波变换的一个重要性质     

     

     

   ，也是小波变换被广泛采用的一个重要原因
    
    
    
。

2   




   




   




   
、从时频分析的角度看  




  




  




  

，小波变换在时频平面上的基本分析单元具有如下的特点：当a值较小时


  


  


  


，时间轴上观察范围小     
     
     
  ，而在频域上相当于用高频小波作细致观察   




   




   




   
，当a值较大时



 



 



 



，时间轴上观察范围大                ，而在频域上相当于用低频小波作概貌观察     


     


     


    。

 三



 



 



 



、离散小波变换（DWT）

 ​​​​​​​

四                、小波变换的应用 

参考视频：

https://www.bilibili.com/video/BV1wS4y1D7ng/?p=11&spm_id_from=pageDriver&vd_source=77c874a500ef21df351103560dada737