一   
    
    
 、旅行商问题（Traveling Saleman Problem   
    
    
 ，TSP）

1.旅行商问题的定义

旅行商问题


     


     


     ，是一个经典的组合优化问题 




 




 




，而且是著名NP问题之一    
    
    
。如下图所示

   

   

   

，可以想象

     

     

     ，有A
  




  




  



，B  


  


  


，C 
     
     
    ，D

   




   




   


，E 五个地点 



 



 



，我们想找到一条路径               ，从地点A出发


    




    




    

，经过剩余四个地点














，然后回到地点A               ，从所有可能路径中找到距离最短的一条路径    


     


     


 。本章借用了文献[*1]的图表




 




 




 。

2.旅行商问题求解的计算量

最简单的求解方式就是


     



     



     
，如下图所示把所有的求解路径全部计算一遍














，然后算出每条路径的长度   
    
    
 ，求出最短路径   

   

   

。

如下图所示


     


     


     ，所有的枚举路径总共有24条 




 




 




，我们可以很快找到最短路径     

     

     

。

如果下面A～Z的情况   

   

   

，这个计算量

     

     

     ，日本的第一超级计算机富岳
  




  




  



，每秒的计算速度约为44.2京次（京是10的16次方  


  


  


，即万兆）




  




  




  。一年的秒数是3600×24×365=3153.6万秒
  


  


  

。有兴趣的可以计算一下要算多少年     
     
     
。

二


     


     


     、TSP问题的建模

1.总体Hamilton量

H

H

H

该问题输入有两个 
     
     
    ，这里借用了文章[*2]的图表：

地点数目：

N

N

N 地点之间的距离：

l

i

,

j

(

i

=

1

,

・・・

,

N

)

l_{i,j}(i = 1,・・・, N)

li,j​(i=1,・・・,N)

约束条件：

每个时间步只能访问一个地点 




   




   




  。 每个地点都访问过一次

 



 



 

。

整体的Hamilton量

H

H

H如下：

目标变量

x

i

,

j

x_{i,j}

xi,j​的两个下标的意思如下图👇所示

   




   




   


，绿色的圆圈代表在某个时间步访问了某个第地点 



 



 



，所以我们的目标变量就可以用0或1表示了               ，0代表未访问


    




    




    

，1代表访问               。

2.约束条件

约束条件比较简单














，先从约束条件解释               ，这里有2个约束可以解释如下：

每个时间步只能访问一个地点  




    




    




  。

=> 上图矩阵里的每列元素之和必须为1














。也就是每列

中只有一个元素为1               。 每个地点都访问过一次   



     



     



  。

=> 上图矩阵里的每行元素之和必须为1














。也就是每行中只有一个元素为1    
    
    
。

具体表达式如下：

3.目标函数

解析：

x

i

,

t

x

j

,

t

+

1

x_{i,t}x_{j,t+1}

xi,t​xj,t+1​

：

这里的目标函数


     



     



     
，最难理解的是

x

i

,

t

x

j

,

t

+

1

x_{i,t}x_{j,t+1}

xi,t​xj,t+1​    


     


     


 。可以理解为【

t

t

t时间步访问地点

i

i

i














，

t

+

1

t+1

t+1时间步访问地点

j

j

j时   
    
    
 ，

x

i

,

t

x

j

,

t

+

1

x_{i,t}x_{j,t+1}

xi,t​xj,t+1​=1；其他的情况


     


     


     ，

x

i

,

t

x

j

,

t

+

1

x_{i,t}x_{j,t+1}

xi,t​xj,t+1​=0】




 




 




 。

∑

i

=

1

N

∑

j

=

1

N

∑

t

=

1

N

\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sum_{t=1}^N

∑i=1N​∑j=1N​∑t=1N​

：

该表达式代表了 




 




 




，【

t

t

t时间步访问地点

i

i

i   

   

   

，

t

+

1

t+1

t+1时间步访问地点

j

j

j时

     

     

     ，地点

i

i

i和

j

j

j之间的距离

ℓ

i

,

j

\ell_{i, j}

ℓi,j​之和】   

   

   

。所以
  




  




  



，这个目标函数就代表了  


  


  


，从初始地点 
     
     
    ，经过所有地点后

   




   




   


，回到初始地点的距离总和     

     

     

。

总结

旅行商问题 



 



 



，是比较有实际意义的应用问题               ，大家能体会到怎么把现实问题抽象出binary变量


    




    




    

，然后怎么把制约条件表达出来




  




  




  。因为














，上面的建模有两种编程实现方式               ，为了控制篇幅


     



     



     
，下一篇献上Python代码
  


  


  

。

在阅读参考文献时














，经常会发现资料里的一些小错误   
    
    
 ，大家以后阅读资料时也要小心啊     
     
     
。

参考文献：

[*1] : https://www.nttdata.com/jp/ja/-/media/nttdatajapan/files/news/services_info/2021/012800/012800-01.pdf

[*2] : https://qiita.com/yufuji25/items/0425567b800443a679f7