前言

本文源于笔者的《系统工程》课程的小组作业
  
  
  
  
  
  
  ，笔者尝试运用DEMATEL-ISM方法来进行分析  
  
  
  
  
  
  
 ，建模求解
 


 


 


 


 


 


 


，但在网络上并没有找到相应的
 
 
 
 
 
 
 ，特别是集合DEMATEL-ISM方法的代码
  
  
  
  
  
  
  。因此自己码了DEMATEL-ISM模型的Python代码   
   
   
   
   
   
   
 ，并作为第一个博客发布~

参考文献中
 

 

 

 

 

 

 

，笔者主要参考了李广利等1的研究

 

 

 

 

 

 

 ，本文也将依此论文进行方法解读和代码复现  
  
  
  
  
  
  
 。

网上查找资料的过程中               ，笔者发现了一个MCDA方法的python代码库2
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

，里面有很多多准则决策分析模型的相关代码













，其中就有DEMATEL的代码                      ，笔者做了一定的参考
 


 


 


 


 


 


 


。

DEMATEL-ISM分析方法

方法简介

DEMATEL（Decision Making Trial and Evaluation Laboratory） 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，全称为“决策试验和评价实验法
  
  
  
  
  
  
  ”





















，是一种运用图论与矩阵工具进行系统要素分析的方法              ，通过分析系统中各要素之间的逻辑关系与直接影响关系  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
 ，可以判断要素之间关系的有无及其强弱评价
 
 
 
 
 
 
 。ISM（Interpretative Structural Modelling）法全称为“解释结构模型  
  
  
  
  
  
  
 ”














，其特点是把复杂的系统分解为若干子系统（要素）
  
  
  
  
  
  
  ，通过代数运算将系统构造成一个多级递阶的结构模型   
   
   
   
   
   
   
 。

DEMATEL 模型可利用矩阵运算求出因素间的因果关系和影响强度  
  
  
  
  
  
  
 ，通过可视化因素间的因果关

系
 


 


 


 


 


 


 


，得以揭示复杂问题中的关键影响因素及影响程度；但该方法无法有效识别系统中因素的层级结

构
 

 

 

 

 

 

 

。ISM 法则通过分析构成系统的各子系统( 因素或要素) 之间的直接二元相关关系
 
 
 
 
 
 
 ，基于布尔代数运算等   
   
   
   
   
   
   
 ，构造多级递阶有向拓扑图
 

 

 

 

 

 

 

，但无法确定要素对系统的影响程度

 

 

 

 

 

 

 。

将两种方法结合

 

 

 

 

 

 

 ，可以识别系统中关键要素及其影响程度               ，并构建要素的层级结构               。DEMATEL-ISM方法的过程如下：

步骤

明确系统要素

明确分析系统所构成的要素
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

，将构成系统的要素标记为

x

1

x_1

x1​,

x

2

x_2

x2​,

x

3

x_3

x3​,

…

\ldots

…,

x

n

x_n

xn​
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

。 确定直接影响矩阵

采用专家打分法













，比较

x

i

x_i

xi​对

x

j

x_j

xj​的影响                      ，由于因素与自身比较为没有影响 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，直接影响矩阵的对角线值为0













。通过比较得到直接影响矩阵

A

A

A

                      。

A

=

[

x

12

⋯

x

1

n

x

21

⋯

x

2

n

⋮

⋮

⋱

⋮

x

m

1

x

m

2

…

]

\begin{align} A= \begin{bmatrix} 0&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\ x_{21}&0&\cdots&x_{2n}\\ \vdots &\vdots&\ddots &\vdots \\ x_{m1}&x_{m2}&\dots &0 \end{bmatrix} \end{align}

A=​0x21​⋮xm1​​x12​0⋮xm2​​⋯⋯⋱…​x1n​x2n​⋮0​​​​ 式中因素

x

i

j

(

i

=

1

,

2

,

…

,

m

;

j

=

1

,

2

,

…

,

n

;

i

≠

j

)

x_{ij}(i=1,2, \ldots, m;j=1,2, \ldots,n;i\neq j)

xij​(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n;i=j)表示因素

x

i

x_i

xi​对

x

j

x_j

xj​的直接影响 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
。

i

=

j

i=j

i=j时





















，

x

i

j

=

x_{ij}=0

xij​=0





















。 规范影响矩阵

归一化原始关系矩阵得到规范影响矩阵              。归一化方法有很多种              ，这里可以采用行最大值法进行归一化  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
 ，即将矩阵

A

A

A的每一行求和














，在这些值中取最大值
  
  
  
  
  
  
  ，将矩阵

A

A

A中元素除以最大值  
  
  
  
  
  
  
 ，得到规范直接影响矩阵

B

B

B

 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
 。

B

=

x

i

j

m

a

x

(

∑

j

=

1

n

x

i

j

)

\begin{align} B=\frac{x_{ij}}{max(\sum\limits_{j=1}^n x_{ij})} \end{align}

B=max(j=1∑n​xij​)xij​​​​ 计算综合影响矩阵

综合系统矩阵体现系统中各个元素间的影响的综合效应
 


 


 


 


 


 


 


，规范影响矩阵不断自乘后矩阵的所有值会趋近于0
 
 
 
 
 
 
 ，即

lim

⁡

k

→

∞

B

k

=

\lim\limits_{k \to \infty} B^k=0

k→∞lim​Bk=0
















。计算综合影响矩阵时   
   
   
   
   
   
   
 ，得到

T

=

(

B

+

B

2

+

⋯

+

B

k

)

=

∑

k

=

1

∞

B

k

=

B

(

I

−

B

)

−

1

\begin{align} T=(B+B^2+\dots +B^k)=\sum\limits_{k=1}^\infty B^k=B(I-B)^{-1} \end{align}

T=(B+B2+⋯+Bk)=k=1∑∞​Bk=B(I−B)−1​​ 式中为

I

I

I单位矩阵
  
  
  
  
  
  
  。 计算各个要素的影响度
  
  
  
  
  
  
  、被影响度  
  
  
  
  
  
  
 、中心度和原因度

影响度指矩阵

T

T

T中各行值和
 

 

 

 

 

 

 

，表示各行要素对其他所有要素的综合影响值

 

 

 

 

 

 

 ，记作

D

i

D_i

Di​

               ，有：

D

i

=

∑

j

=

1

n

x

i

j

,

(

i

=

1

,

2

,

…

,

n

)

\begin{align} D_i=\sum\limits_{j=1}^n x_{ij},(i=1,2,\dots,n) \end{align}

Di​=j=1∑n​xij​,(i=1,2,…,n)​​ 被影响度指矩阵

T

T

T中各列值和
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

，表示各列要素对其他所有要素的综合影响值













，记作

C

i

C_i

Ci​

                      ，有：

C

i

=

∑

j

=

1

n

x

j

i

,

(

i

=

1

,

2

,

…

,

n

)

\begin{align} C_i=\sum\limits_{j=1}^n x_{ji},(i=1,2,\dots,n) \end{align}

Ci​=j=1∑n​xji​,(i=1,2,…,n)​​ 中心度表示因素在评价体系中的位置及其所起作用的大小 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，某要素的中心度为其影响度于被影响度之和





















，记作

M

i

M_i

Mi​

              ，有：

M

i

=

D

i

+

C

i

\begin{align} M_i=D_i+C_i \end{align}

Mi​=Di​+Ci​​​

原因度由某要素的影响度和被影响度相减得到  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
 ，记作














，有：

R

i

=

D

i

−

C

i

\begin{align} R_i=D_i-C_i \end{align}

Ri​=Di​−Ci​​​ 当原因度大于0时
  
  
  
  
  
  
  ，表示该要素对其他要素的影响程度大  
  
  
  
  
  
  
 ，称其为原因要素
 


 


 


 


 


 


 


，当原因度小于0时
 
 
 
 
 
 
 ，该要素为结果要素  
  
  
  
  
  
  
 。 绘制因果图

将中心度

M

i

M_i

Mi​为横坐标   
   
   
   
   
   
   
 ，将原因度

R

i

R_i

Ri​作为纵坐标
 

 

 

 

 

 

 

，绘制因果关系图
 


 


 


 


 


 


 


。该图可以直观体现因果关系
 
 
 
 
 
 
 。 确定整体影响矩阵

整体影响矩阵由综合影响矩阵和单位矩阵相加得到   
   
   
   
   
   
   
 。

确定可达矩阵

确定可达矩阵时需要引入一个阈值

λ

\lambda

λ以剔除因素之间影响程度较小的关系

 

 

 

 

 

 

 ，从而明确层级结构的划分
 

 

 

 

 

 

 

。引入阈值

λ

\lambda

λ对整体影响矩阵

E

E

E进行处理               ，可以得到可达矩阵

F

F

F



 

 

 

 

 

 

 。则有：

f

i

j

=

{

1

e

i

j

≥

λ

(

i

,

j

=

1

,

2

,

…

,

n

)

e

i

j

<

λ

(

i

,

j

=

1

,

2

,

…

,

n

)

\begin{equation} f_{ij}= \begin{cases} 1 & & {e_{ij}\geq\lambda(i,j=1,2,\dots,n)}\\ 0 & & {e_{ij}<\lambda(i,j=1,2,\dots,n)} \end{cases} \end{equation}

fij​={10​​eij​≥λ(i,j=1,2,…,n)eij​<λ(i,j=1,2,…,n)​​​ 划分层级

由可达矩阵

F

F

F的第

i

i

i行上值为1的列对应的因素求得可达集

R

(

x

1

)

=

{

x

i

∣

F

i

j

=

1

}

R(x_1)=\{x_i|F_{ij} =1\}

R(x1​)={xi​∣Fij​=1}
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

，表示从因素

x

i

x_i

xi​出发可以达到的全部因素的合集













，由可达矩阵

F

F

F的第

i

i

i列上值为1的行对应的因素求得先行集

S

(

x

1

)

=

{

x

i

∣

F

j

i

=

1

}

S(x_1)=\{x_i|F_{ji} =1\}

S(x1​)={xi​∣Fji​=1},表示可以达到因素的全部因素的合集               。如果

R

(

x

1

)

R(x_1)

R(x1​)和

S

(

x

1

)

S(x_1)

S(x1​)满足

R

(

x

1

)

∩

S

(

x

1

)

=

R

(

x

1

)

R(x_1)\cap S(x_1)=R(x_1)

R(x1​)∩S(x1​)=R(x1​)                      ，则表示中对应的元素均能在中找到前因 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，将该元素称为高层级的元素
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

。然后从可达矩阵中去除对应的行和列





















，再从矩阵中抽取最高级的因素              ，不断重复该过程  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
 ，直到所有的行和列均被去除













。 绘制因素之间的递阶层次结构

根据去除因素的顺序














，绘制系统要素间多级递阶有向拓扑图                      。

实例与代码

DEMATEL-ISM计算

这里笔者直接给出一组数据
  
  
  
  
  
  
  ，10项因素  
  
  
  
  
  
  
 ，直接影响矩阵

A

A

A

如下 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
。

下面是DEMETAL-ISM计算的Python代码：

#导入所需库 import numpy as np import pandas as pd #直接影响矩阵A A = np.array([[0, 2, 0, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2], [0, 0, 0, 1, 3, 2, 0, 1, 1, 2], [0, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 1], [0, 2, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 0, 1], [1, 3, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 1], [0, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 2], [2, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1], [0, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2], [3, 2, 0, 1, 2, 2,