白鲸创投（智能优化算法：白鲸优化算法-附代码）
智能优化算法：白鲸优化算法
摘要：白鲸优化算法([Beluga whale optimization ，BWO)是由是由 Changting Zhong 等于2022 年提出的一种群体智能优化算法 。其灵感来源于白鲸的群体觅食行为 。
1.白鲸优化算法
BWO建立了探索 、开发和鲸鱼坠落的三个阶段 ，分别对应于成对游泳 、捕食和鲸落的行为 。BWO中的平衡因子和鲸落概率是自适应的 ，对控制探索和开发能力起着重要作用 。此外 ，还引入了莱维飞行来增强开发阶段的全局收敛性 。
BWO算法可以从探索逐渐转换到开发 ，这取决于平衡因子
B
f
\mathrm{~B}_{\mathrm{f}}
Bf，其定义为:
B
f
=
B
(
1
−
T
/
(
2
T
max
)
)
\mathrm{B}_{\mathrm{f}}=\mathrm{B}_0\left(1-\mathrm{T} /\left(2 \mathrm{~T}_{\max }\right)\right)
Bf=B0(1−T/(2Tmax)) 其中 ，T
\mathrm{T}
T 是当前迭代次 ，T
max
\mathrm{T}_{\max }
Tmax 是最大迭代次数 ，B
\mathrm{B}_0
B0 在每次迭代中在(
,
1
)
(0,1)
(0,1) 之间随机变化 。探索阶段发生在平衡因子B
f
>
0.5
\mathrm{B}_{\mathrm{f}}>0.5
Bf>0.5 时 ，而开发 阶段发生在B
f
≤
0.5
\mathrm{B}_{\mathrm{f}} \leq 0.5
Bf≤0.5 。随着迭代次数T
\mathrm{T}
T 的增加 ，B
f
\mathrm{B}_{\mathrm{f}}
Bf 的波动范围从(
,
1
)
(0,1)
(0,1) 减小到(
,
0.5
)
(0,0.5)
(0,0.5) ，说明开发和探索阶段的概率发生了显著变化 ，而 开发阶段的概率随着迭代次数T
\mathrm{T}
T 的不断增加而增加 。1.1 探索阶段
BWO的探索阶段是白鲸的游泳行为建立的 。搜索代理的位置由白鲸的配对游泳决定 ，白鲸的位置更新如下:
{
X
i
,
j
T
+
1
=
X
i
,
p
j
T
+
(
X
r
,
p
1
T
−
X
i
,
p
j
T
)
(
1
+
r
1
)
sin
(
2
π
r
2
)
,
j
=
even
X
i
,
j
T
+
1
=
X
i
,
p
j
T
+
(
X
r
,
p
1
T
−
X
i
,
p
j
T
)
(
1
+
r
1
)
cos
(
2
π
r
2
)
,
j
=
o
d
d
\begin{cases}\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T+1}}=\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p}_1}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{r}_1\right) \sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right), \mathrm{j}=\text { even } \\ \mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p}_1}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{r}_1\right) \cos \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right), \quad \mathrm{j}=\mathrm{odd}\end{cases}
⎩⎨⎧Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)sin(2πr2),j= even Xi,jT+1=Xi,pjT+(Xr,p1T−Xi,pjT)(1+r1)cos(2πr2),j=odd 其中 ，T
\mathrm{T}
T 是当前迭代次数 ，X
i
,
j
T
+
1
\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T+1}}
Xi,jT+1 是第i只白鲸在第j
j
j维上的新位置 ，p
j
(
j
=
1
,
2
,
⋯
,
d
)
\mathrm{p}_{\mathrm{j}}(\mathrm{j}=1,2, \cdots, \mathrm{d})
pj(j=1,2,⋯,d) 是从d
\mathrm{d}
d 维中选择的随机整数 ，X
i
,
p
j
T
\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p} \mathrm{j}}^{\mathrm{T}}
Xi,pjT 是第i条白鲸 在p
j
\mathrm{p}_{\mathrm{j}}
pj 维度上的位置 ，X
i
,
p
j
T
\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}
Xi,pjT 和X
r
,
p
1
T
\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p} 1}^{\mathrm{T}}
Xr,p1T 分别是第1条和第r
\mathrm{r}
r 条白鲸的当前位置(
r
\left(\mathrm{r}\right.
(r 是随机选择的白鲸) ，随机数r
1
r_1
r1 和r
2
r_2
r2 用于增强探索阶段的随机算子 ，r
1
\mathrm{r}_1
r1 和r
2
\mathrm{r}_2
r2 是(
,
1
)
(0,1)
(0,1) 的随机数 ，sin
(
2
π
r
2
)
\sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right)
sin(2πr2) 和sin
(
2
π
r
2
)
\sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right)
sin(2πr2) 表示镜像白鲸的鲌朝向水面 。根据奇偶数选择的维数 ，更新后的位置反映了白鲸在游泳或跳水时的同步或镜像行为 。1.2 开发阶段
BWO的开发阶段受到白鲸捕食行为的启发 。白鲸可以根据附近白鲸的位置合作觅食和移动 。因此 ，白鲸通过共享彼此的位置信息来捕 食 ，同时考虑最佳候选者和其他候选者 。在BWO的开发阶段引入了莱维飞行策略 ，以增强收敛性 。假设它们可以使用莱维飞行策略捕捉 猎物 ，数学模型表示为：
X
i
T
+
1
=
r
3
X
best
T
−
r
4
X
i
T
+
C
1
⋅
L
F
⋅
(
X
r
T
−
X
i
T
)
\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{r}_3 \mathrm{X}_{\text {best }}^{\mathrm{T}}-\mathrm{r}_4 \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_1 \cdot \mathrm{L}_{\mathrm{F}} \cdot\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}\right)
XiT+1=r3Xbest T−r4XiT+C1⋅LF⋅(XrT−XiT) 其中 ，T
\mathrm{T}
T 是当前迭代次数 ，X
i
T
\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}
XiT 和X
r
T
\mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}
XrT 分别是第i
\mathrm{i}
i 条白鲸和随机白鲸的当前位置 ，X
i
T
+
1
\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}
XiT+1 是第i
\mathrm{i}
i 条白鲸的新位置 ，X
b
e
s
t
T
\mathrm{X}_{\mathrm{best}}^{\mathrm{T}}
XbestT 是白鲸种群中的最佳位置 ，r
3
\mathrm{r}_3
r3 和r
4
\mathrm{r}_4
r4 是(
,
1
)
(0,1)
(0,1) 之间的随机数 ，C
1
=
2
r
4
(
1
−
T
/
T
max
)
\mathrm{C}_1=2 \mathrm{r}_4\left(1-\mathrm{T} / \mathrm{T}_{\max }\right)
C1=2r4(1−T/Tmax) 是衡量莱维飞行强度的随机跳跃强度 。L
F
\mathrm{L}_{\mathrm{F}}
LF是莱维飞行函数 ，计算如下:
L
F
=
0.05
×
u
×
σ
∣
v
∣
1
/
β
σ
=
(
Γ
(
1
+
β
)
×
sin
(
π
β
/
2
)
Γ
(
(
1
+
β
)
/
2
)
×
β
×
2
(
β
−
1
)
/
2
)
1
/
β
\begin{gathered} \mathrm{L}_{\mathrm{F}}=0.05 \times \frac{\mathrm{u} \times \sigma}{|\mathrm{v}|^{1 / \beta}} \\ \sigma=\left(\frac{\Gamma(1+\beta) \times \sin (\pi \beta / 2)}{\Gamma((1+\beta) / 2) \times \beta \times 2^{(\beta-1) / 2}}\right)^{1 / \beta} \end{gathered}
LF=0.05×∣v∣1/βu×σσ=(Γ((1+β)/2)×β×2(β−1)/2Γ(1+β)×sin(πβ/2))1/β 其中 ，u
u
u 和v
v
v 为正态分布随机数 ，β
\beta
β 为默认常数 ，等于1.5 。1.3 鲸鱼坠落
为了在每次迭代中模拟鲸鱼坠落的行为 ，从种群中的个体中选择鲸鱼坠落概率作为主观假设 ，以模拟群体中的小变化 。假设这些白鲸要 么移到别处 ，要么被击落并坠入深海 。为了确保种群大小的数量恒定 ，使用白鲸的位置和鲸鱼落体的步长来建立更新的位置 。数学模型表 示为：
X
i
T
+
1
=
r
5
X
i
T
%
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