狄拉克函数的积分（傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、周期延拓）
一 、傅里叶级数与幂级数
共同点：都是将一个复杂的量用叠加的简单量来表示 。
幂级数展开：简单量——幂函数
傅里叶级数展开：简单量——三角函数
【傅里叶级数主要用于研究周期性的量】
函数能展开成为幂级数的条件是：f(x)任意阶可导 。函数能展开称为傅里叶级数的条件就严格多了 。
二 、 傅里叶级数的收敛性：狄利克雷收敛定理
【狄利克雷收敛定理有2个使用条件】
设函数f(x)是以2l为周期的可积函数 ，且在[-l ，l]上满足2个条件：
①f(x)连续或只有有限个第一类间断点(可去/跳跃)
②只有有限个极值点
则称f(x)的以2l为周期的傅里叶级数收敛 。且
(1)当x是f(x)的连续点时 ，该级数收敛于
(2)当x是f(x)的间断点时 ，该级数收敛于
(3)当x=±l时(端点处) ，该级数收敛于
即连续的点直接代入 ，不连续的点取左右极限平均 。
三 、周期为2l的函数展开为傅里叶级数
1 、傅里叶级数的统一形式：
2 、不同情况下傅里叶系数和的求法：
相同点：①积分区间都是：-l→l ②被积函数都是：f(x)·三角函数 ③整体都要乘系数
区别：中只有余弦cos ， 中只有正弦sin 。中的n从0开始 ，中的n从1开始 。
原理—当f(x)不仅是周期为2l的函数 ，还是奇/偶函数时：
【奇函数的展开式中只有正弦sin】
，被积函数f(x)·cos 奇×偶=奇→零→积分值=0 。
，被积函数f(x)·sin 奇×奇=偶→倍→积分值=
【偶函数的展开式中只有余弦cos】
，被积函数f(x)·cos 偶×偶=偶→倍 →积分值=
，被积函数f(x)·sin 偶×奇=奇→ 零→积分值=0 。
注意是在半个周期上展开为正弦or余弦！
补充f(x)在另一半周期[-l,0]上的定义:
要想展开为正弦sin→要使f(x)在[-l, l ]上为奇函数【奇延拓】记忆口诀：正畸(奇)
要想展开为余弦cos→要使f(x)在[-l, l ]上为偶函数【偶延拓】
延拓不改变求an时的积分区间仍为[0, l]半个周期 。唯一区别：在使用狄利克雷收敛定理时要在区间[-l, l]上使用 。
四 、常考题型与经典例题
1 、狄利克雷收敛定理
【分析】不用求出傅里叶系数和 ，直接使用狄利克雷收敛定理——当x是f(x)的间断点时 ，该级数收敛于
B
2 、将函数展开为傅里叶级数
注：
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